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1、 1本480 第一讲第一讲 和倍问题(一)和倍问题(一)已知两个数的和与它们之间的倍数关系,求这两个数是多少的应用题,叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是:和(倍数1)=小数 小数倍数=大数(和小数=大数)【例例 1】1】 学校有科技书和故事书共 480 本,科技书的本数是故事书的 3 倍。两种书各有多少本?导学:导学:为了便于理解题意,我们画图来分析:由图可知,如果把故事书的本数看作一份,那么科技书的本数就是这样的( )份,两种书的总本数就是这样的( )份。相当于把 480 本书平均分成( )份,1 份是故事书的本数,3 份是科技书的本数。列式解答: 故事书: (本)科技书: (本)
2、练习练习 1 1:1.用锡和铝制成的合金是 720 千克,其中铝的重量是锡的 5 倍。铝和锡各用了多少千克?22.甲、乙两数的和是 112.甲数除以乙数的商是 6,甲、乙两数各是多少?【例例 2】2】果园里有梨树、桃树和苹果树共 1200 棵,其中梨树的棵数是苹果树的 3 倍,桃树的棵数是苹果树的 4 倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵?导学:导学:如果把苹果树的棵数看作 1 份,那么梨树就是( )份;桃树就是( )份;三种树的总棵数就是这样的( )份。所以,苹果树有: (棵); 梨树有: (棵);桃树有: (棵)。练习练习 2 2:1.李大伯养鸡、鸭、鹅共 960 只,养鸡的只数是鹅的 3
3、倍,养鸭的只数是鹅的 4 倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只?2.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共 560 支,圆珠笔的支数是钢笔的 3 倍,铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支?1200 棵3【例例 3】3】有三个书橱共放了 330 本书,第二个书橱里的书是第一个的 2 倍,第三个书橱里的书是第二个的 4 倍。每个书橱里各放了多少本书?导学:导学:把第一个书橱里的本数看作 1 份,那么第二个书橱里的本数是这样的( )份,第三个就是这样的( )份,三个书橱里的总本数就是这样的( )份。同学们试着画出线段图:所以,第一个书橱里放了: (本);第二个书橱里放了: (本);第三个书橱里放了
4、: (本)。练习练习 3 3:1. 甲、乙、丙三个数之和是 400,已知甲是乙的 3 倍,丙是甲的 2 倍。求甲、乙、丙各是多少。2. 甲、乙、丙三个修路队共修路 1200 米,甲队修的米数是乙队的 2 倍,乙队修的数数是丙队的 3 倍。三个队各修了多少米?【例例 4】4】(WMO 世奥赛全国赛三年级复赛试题)一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的 2 倍,每4个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的 2 倍。如果评一、二、三等奖各两人,那么每个一等奖的奖金是 308 元;如果评一个一等奖,两个二等奖,三个三等奖,那么一等奖的奖金是多少元?导学:导学:本题分有两种情况:一
5、种是一二三等奖各 2 人;一种是一二三等奖分别 1、2、3 人。 先来看第一种情况:设三等奖的奖金为 1 份,那么二等奖的奖金是( )份,一等奖的奖金就是( )份。也就一共是( )份。由于每等奖都有两人,所以相当于一共是 2( )=( )份。一等奖是 308 元,一等奖是( )份。每份就是 308( )=( )元。所以总奖金就是: (元)。 第二种情况:再设三等奖为 1 份,则二等奖为 2 份,一等奖为 4 份。由每等奖人数不同,则一共有 13+22+41=11(份)所以每份奖金:( )11=( )元。则一等奖有:( )4=( )元。练习练习 4 4:(1)一批粮食如果按重量平均堆放在甲、乙、
6、丙三个仓库中,每个仓库堆放粮食 105 吨;考虑到地域和人口的需要,丙仓库堆放的粮食是甲仓库的 4 倍,是乙仓库的 2 倍。求丙仓库堆放了多少吨的粮食?(2)幼儿园园长把 84 苹果分给大、中、小三个班的孩子每人一个刚好分完。已知小班孩子人数是中班人数的 2 倍,中班孩子人数是大班孩子人数的 2 倍。如果按照大班每人 3 个,中班每人 2 个,小5班每人 1 个来分,还差多少个苹果?解决和倍问题必须要先确定一个数为标准数(即 1 倍数),再根据其他数与标准数的倍数关系,确定“和数”相当于标准数的几倍算出1 倍数.进而求出其它数。为了更直观的解决和倍问题,我们采用画线段图的方式帮助我们解决.一、
7、达标训练:一、达标训练:1.兄弟两人共有钱 186 元,已知哥哥的钱是弟弟的钱的 5 倍,求哥哥和弟弟分别有多少钱?2.甲、乙、丙三数之和是 360,已知甲是乙的 3 倍,丙是乙的2 倍。求甲、乙、丙各是多少。归归 纳纳 小小 结结63.三块钢板共重 621 千克,第一块的重量是第二块的 3 倍,第二块的重量是第三块的 2 倍。三块钢板各重多少千克?二、变式训练:二、变式训练:1.一块长方形黑板的周长是 96 分米,长是宽的 3 倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米?2.(1999 年金翅杯小学数学竞赛试卷)被除数、除数和商的和为 327,商是 7。被除数和除数各是多少?三、拓展训练:三、拓
8、展训练:1. 甲数的一半与乙数的和是 270,甲数的 4 倍正好等于乙数。问:甲、乙两数各是多少?72. (“2015 年第 20 届华杯少年数学邀请赛初赛”真题。)新生入校后,合唱队、田径队、和舞蹈队共招收学员 100 人。如果合唱队招收的人数比田径队多一倍,舞蹈队比合唱队多 10 人,那么舞蹈队招收多少人?(每人限加入一个队)(答案:舞蹈队招收(答案:舞蹈队招收 4646 人)人)学生: 家长: 8第二讲第二讲 和倍问题(二)和倍问题(二)已知两个数的和与它们之间的倍数关系,求这两个数是多少的应用题,叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是:和(倍数1)=小数 小数倍数=大数(和小数=
9、大数)【例例 1】1】少先队员种柳树和杨树共 216 棵,杨树的棵数比柳树的 3 倍多 20 棵,两种树各种了多少棵?导学导学: :如果杨树少种 20 棵,那么柳树和杨树的总棵数是 (棵),这里杨树的棵数恰好是柳树的 3 倍。所以,柳树的棵数是( )(13)=( )(棵),杨树的棵数是 (棵)。练习一:练习一:1、粮站有大米和面粉共 6300 千克,大米的重量比面粉的 4 倍还多 300 千克,大米和面粉各有多少千克?92、学校购买了 720 本图书分给高、中、低三个年级,高年级分得的比低年级的 3 倍多 8 本,中年级分得的比低年级的 2 倍多 4 本。高、中、低年级各分得图书多少本?【例例
10、 2】2】三个筑路队共筑路 1360 米,甲队筑的米数是乙队的 2 倍,乙队比丙队多 240 米。三个队各筑多少米?导学:导学:把乙队的米数看作 1 份,甲队筑的米数是这样的 2 份。假设丙队多筑 240 米,那么三个队共筑了 米,正好是乙队的 211=4 倍。所以,乙队筑了 米,甲队筑了 米,丙队筑了 米。练习二:练习二:1、三个植树队共植树 1900 棵,甲队植树的棵数是乙队的 2 倍,乙队比丙队少植 300 棵。三个队各植树多少棵?2、城东小学共有篮球、足球和排球共 95 个,其中足球比排球少 5 个,排球的个数是篮球个数的 2 倍。篮球、足球、排球各有多少个?10【例例 3】3】两箱茶
11、叶共重 96 千克,如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱,那么乙箱的千克数是甲箱的 3 倍。两箱原来各有茶叶多少千克?导学:导学:由“两箱茶叶共重 96 千克,如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱,那么乙箱的千克数是甲箱的 3 倍”可知总量还是 96 千克没有变,可求出现在甲箱中有茶叶 千克。由此可求出甲箱原来有茶叶 千克,乙箱原来有茶叶 千克。练习三:练习三:1 1、书架的上、下两层共有书 180 本,如果从上层取下 15 本放入下层,那么下层的本数正好是上层的 2 倍。两层原来各有书多少本?2、某畜牧场共有绵羊和山羊 3561 只,后来卖了 60 只绵羊,又买来山羊 100 只,现在绵羊的只数
12、比山羊的 2 倍多 1 只。原来绵羊和山羊各有多少只?【例例】( 2012 年重庆 18 中招生数学题)被除数和除数的和是 80,如果被除数和除数都减去 13,那么它们的商是 5,求原来的被除数和除数各是多少?导学:导学:11(1)被除数和除数都减去 13 后,它们的和是:80-( )=( )。(2)根据 被除数=商除数,设除数为 1 份,那么被除数是( )份。(3)所以除数: 。 被除数: 。(4)原来的除数:( )+13=( );被除数:( )+13=( )。练习四:练习四:(1)被除数和除数的和是 143,如果被除数和除数都加上 6,那么它们的商是 4.求原来的被除数和除数各是多少?(2
13、)已知被除数、除数、余数三数之和是 120,如果被除数和除数都减去 5,那么它们的商是 7 且没有余数。如果原来算式中的余数是 6,那么原来的被除数和除数分别是多少?解决稍复杂的和倍问题我们同样需要借助画线段图的方式帮助我们解答。值得注意的是要搞清楚题目中除倍数以外的其他数量关系。如果题目中没有明确告之“和”是多少,需要从条件中找出来再解答。一、达标训练归归 纳纳 小小 结结121.小华和小明两人参加数学竞赛,两人共得 168 分,小华的得分比小明的 2 倍少 42 分。两人各得多少分?2.三个数的和是 1490,甲数是丙数的 7 倍,乙数比丙数多 40。三个数各是多少?3.同学们采集植物标本
14、,五、六年级共采集了 120 件,如果五年级采集的标本给六年级 12 件,六年级的标本数量刚好是五年级的2 倍。五、六年级各采集了多少件?2、变式训练变式训练1、已知被减数、减数与差之和是 3274,其中减数比差的 3 倍还多 5。问:被减数、减数、差各是多少?132、甲、乙两人共储蓄 2000 元,甲取出 160 元,乙又存入 240 元,这时甲储蓄的钱数比乙的 2 倍少 20 元。甲、乙两人原来各储蓄多少元?三、拓展训练三、拓展训练1、甲水池有水 5640 立方米,乙水池有水 780 立方米,如果甲水池的水以每分钟 15 立方米的速度流入乙水池。问:多少分钟后,甲水池水量是乙水池水量的 3 倍?2、(“2007 年第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛”真题。)王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共 250 只,其中:鸭比鹅的 2 倍少 10只,鸡比鸭的 3 倍多 20 只,王奶奶家养了鸡、鸭、鹅各多少只?(答案:鸡:(答案:鸡:170 只、鸭:只、鸭:50 只、鹅:只、鹅:30 只)只)14学生: 家长: 第三讲第三讲 差倍问题(一)差倍问题(一)差倍问题