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1、第二章 第 12 炼 复合函数零点问题 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第 12 炼 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设，且函数的值域为定义域的子集， yf t tg x g x f t那么通过 的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为 ytxyx yfg x2、复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层 ygf x层求出函数值。例如：已知，计算 22 ,xf xg xxx 2gf解： 2224f 2412gfg3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一x层层
2、拆解直到求出的值。例如：已知，若，x 2xf x 22g xxx 0gf x求x解：令，则解得 tf x 2020g ttt0,2tt当，则 0020xtf xx当，则 2222xtf x1x 综上所述：1x 由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出 0gf x f x的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定 f xx义：4、函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称 f xD0xD 00f x为的一个零点0xx f x5、复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题x 0gf x时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个
3、的值使得等式成 f x f x立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后 f x f xxx即为的根的个数 0gf x第二章 第 12 炼 复合函数零点问题 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载6、求解复合函数零点问题的技巧： ygf x（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 ,f xg x（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解 f x 0gf x f x的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而 f x ifxx确定的取值范围，进而决定参数的范围 i
4、fx复合函数：二、典型例题例 1：设定义域为的函数 ，若关于的方程R 1,111,1xxf xx x由 3 个不同的解，则_ 20fxbf xc123,x x x222 123xxx思路：先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数 f x0y 0yf xx分别为 2 个（）和 3 个（） ，已知有 3 个解，从而可得必为 000,1yy01y 1f x 的根，而另一根为 或者是负数。所以，可解得： 20fxbf xc1 1if x，所以1230,1,2xxx222 1235xxx答案：5 例 2：关于的方程的不相同实根的x22213120xx个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5
5、D. 8思路：可将视为一个整体，即，则方程变为可解得：21x 21t xx2320tt或，则只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即1t 2t 21t xx1t 2t 可，共有 5 个答案：C第二章 第 12 炼 复合函数零点问题 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载例 3：已知函数，关于的方程（11( ) |f xxxxxx2( )( )0fxa f xb）恰有 6 个不同实数解，则的取值范围是 , a bRa思路：所解方程可视为，故考虑作出2( )( )0fxa f xb 20f xa f xb的图像：， 则的图像 f x 2,12 ,
6、012 , 10 2,1xx xxf xxxxx f x如图，由图像可知，若有 6 个不同实数解，则必有，所以， 122,02fxfx 122,4afxfx解得 42a 答案：42a 例 4：已知定义在上的奇函数，当时，则关于的R0x 121,0212 ,22xx f x f xx x方程的实数根个数为（ ） 2610f xf x A. B. C. D. 6789思路：已知方程可解，得，只需统计 2610f xf x 1211,23fxfx 与的交点个数即可。由奇11,23yy yf x函数可先做出的图像，时，0x 2x ，则的图像只需将 122f xf x2,4x的图像纵坐标缩为一半即可。正
7、半轴图0,2x像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有 7 个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。第二章 第 12 炼 复合函数零点问题 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载例 5：若函数有极值点，且，则关于的方程 32f xxaxbxc12,x x 11f xxx的不同实根的个数是（ ） 2320f xaf xbA3 B4 C5 D6思路：由极值点可得：为 的两根，观察 232fxxaxb12,x x2320xaxb到方程与结构完全相同， 2320f xaf xb所以可得
8、的两根为 2320f xaf xb，其中，若， 1122,fxxfxx 111fxx12xx可判断出是极大值点，是极小值点。且1x2x，所以与有两 2211fxxxf x 1yfx f x个交点，而与有一个交点，共计 3 个；若 2fx f x，可判断出是极小值点，是极大值点。且12xx1x2x，所以与有两个交点，而与有一 2211fxxxf x 1yfx f x 2fx f x个交点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点答案：A例 6：已知函数，若方程恰有七个不相同的 243f xxx 20f xbf xc实根，则实数的取值范围是（ ）bA. B. C. D. 2,02, 10,10,2
9、思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图） ，因为 f x最多只能解出 2 个，若要出七 20f xbf xc f x个根，则，所以 121,0,1fxfx，解得： 121,2bfxfx 2, 1b 答案：B例 7：已知函数，若关于的方程恰有 4 个不相等 xxf xex 210fxmf xm 第二章 第 12 炼 复合函数零点问题 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载的实数根，则实数的取值范围是（ ）mA. B. C. D. 1,22,ee1,1e11,1e1,ee思路：，分析的图像以便于作图， ,0,0xxxxef xxxe f x时，从
10、而在单调递增，0x 1xfxx e f x0,1在单调递减，且当，所以1, 11fe,0xy 正半轴为水平渐近线；当时，所x0x 1xfxxe以在单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有 4 个不等实根，则关于 f x,0的方程中，从而将 f x 210fxmf xm 12110,fxfxee问题转化为根分布问题，设，则的两根 tf x210tmtm ，设，则有12110,ttee 21g ttmtm，解得 20010 111100gmmmgeee 11,1me答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，
11、从而保证图像的准确。例 8：已知函数，则下列关于函数的零点个数判 21,0log,0axxf xx x 1yff x断正确的是（ ）A. 当时，有 4 个零点；当时，有 1 个零点0a 0a B. 当时，有 3 个零点；当时，有 2 个零点0a 0a C. 无论为何值，均有 2 个零点a第二章 第 12 炼 复合函数零点问题 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载D. 无论为何值，均有 4 个零点a思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线 1ff x f x为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时，图1yax0,1a0a 像如图所示，先拆外层可得，而有两个对应的， 12210,2fxfxa 1fxx也有两个对应的，共计 4 个；当时，的图像如图所示，先拆外层可得 2fxx0a f x，且只有一个满足的，所以共一个零点。结合选项，可判断出 A 正 1 2f x 1 2f x x确答案：A例 9：已知函数，则方程 232211,0231,31,0xxf xxxg xxx （为正实数）的实数根最多有_个 0gf xaa思路：先通过分析的性质以便于作图， ,f xg x，从而在 23632fxxxx x f x单增，在单减，且 ,0 , 2,0,2，为分段函数，作出每段图
