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1、6.2.1 配方法,6.2 化二次型为标准形,本节主要介绍化二次型为标准型的三种方法。,把一个二次型化为标准形,实际上就是要用可逆线性变换消去二次型中的交叉乘积项xixj (ij),使其只含有新变量的平方项.下面先通过两个例子说明这种方法.,，,，,例6.2.1 试用配方法将二次型,化为标准形,并写出所用的可逆线性变换.,解 这个二次型含有变量x1的平方项,可先将二次型中含x1的所有项放在一起配成一个完全平方项,然后再对x2,x3进行配方.由于,，,，,取,即,则通过可逆线性变换,把二次型 f 化为标准形,二次型 f 所对应的矩阵为,所做可逆线性变换所对应的矩阵为,容易验证,，,，,例6.2.
2、2 试用配方法将二次型,化为标准形.,解 在这里遇到一个特殊情形,即f中不含平方项.而没有平方项就无法直接应用例6.2.1的配方法.我们可以利用一个特别的线性变换先构造出一些平方项来.令,(6.2.1),，,，,写成矩阵乘积形式,即X = CY.,易见，C是可逆矩阵,从而式(6.2.1)是可逆线性变换.对 f 作此变换后得,按例6.2.1中的方法进行配方，得,再令,(6.2.2),得,，,，,即 f 经过变元的线性变换化成了关于变元z1, z2, z3的标准形.,与式(6.2.2) 相应的矩阵式为,这样由式(6.2.1),式(6.2.2) 得到总的线性变换为,即Z=BY.,(6.2.3),即
3、f 经过可逆线性变换式(6.2.3)化成了标准形.其中,，,，,，,记,为 f 对应的矩阵,则,上面通过两个具体例子,说明了把一个二次型通过可逆线性变换化为标准形的方法。事实上，这种方法具有一般性。,，,，,定理6.2.1 数域P上任意一个二次型f都可由可逆线性变换化为标准形,证 对变元的个数n作归纳法.,当n=1时,二次型为,这已经,是标准形式了.假定对于n-1个变元的二次型定理成立,取n元二次型,以下分三种情形进行讨论:,，,，,(1)若aii(i=1,2,n)中至少有一个不为0,例如a110,这时可直接施行配方:,，,，,其中,是一个关于变元x2,x3,xn的二次型.,作可逆线性变换,，
4、,，,或,由归纳法假设,其中,则,可利用可逆,线性变换化为标准型,再令y1=z1,则 f 化成了标准形.,(2)若aii(i=1,2,n)全为零,但至少有一个a1j0 (j1). 不妨设a120,令,则,这样,的系数不为零,化成了第(1)种情况,从而它可化为标准形.,(3) 若a11=a12=a1n=0,此时系数的对称性，必有 a21= a31= an1= 0 ,从而,已是n-1个变元的二次型,由归纳假设它可化为标准形. 证毕.,，,，,根据6.1对二次型矩阵合同关系的讨论,由定理6.2.1立即可得以下推论:,推论 数域P上任意一个对称矩阵都必合同于一个对角形矩阵.即对任意对称矩阵A,必存在可
5、逆矩阵C,使CTAC成对角形矩阵.,，,，,由前面的讨论知道,二次型与它的矩阵是互相唯一决定的.如果能够对二次型的矩阵进行某种变换使之化为对角形,则原二次型将变为标准形.由定理6.2.1的推论,任意一个对称矩阵A,必存在可逆矩阵C，使得,6.2.2 初等变换法,这里矩阵D为对角阵.而可逆矩阵C可表示成有限个初等矩阵的乘积,令,其中Pi(i=1,2,m)为初等矩阵.于是,初等矩阵共有三类,它们的转置是其自身或同类型的初等矩阵。由初等矩阵的性质,对A进行一次行的初等变换,相当于在A的左边乘上一个相应的初等矩阵。对A进行一次列的初等变换相当于在A的右边乘上一个相应的初等矩阵。对于对称矩阵A,如果对它
6、进行了一次列的初等变换,（6.2.4）,，,，,（在A的右边乘上初等矩阵P）后,接着再进行一次同样的初等行变换（在AP的左边再乘上PT）,则把这个过程称作一个变换,这样每次变换后得到的矩阵PTAP是对称矩阵.由对称矩阵的合同与相应二次型的可逆线性变换的关系可知, PTAP也正好是A对应的二次型经过可逆线性变换X=PY 后所得的二次型矩阵.,由式(6.2.4)容易看出,对称矩阵A经过有限次变换后可化为对角形矩阵. 因此,只要把每次行的初等变换对应的初等矩阵,找出来,那么所需的可逆线性变换X= CY（其中C=P1 ,P2 ,Pm）也就给出了.,定理6.2.2 任一个数域P上的对称矩阵A都可以经由初
7、等变换化为标准形,只要在每次初等行变换后紧接着进行一次同样的初等列变换即可.,证 设A左上角元素a110,则可将第一,行的,倍加到第i行, i=2,n. 这样A的,第一列除a11外将全变为零.然后同样地将,第一列的,倍加到第i列,i=2,n. 由于,若A左上角元素a11=0,而主对角线上有某个元素aii0,则可将第一行与第i行互换,再将第一列与第i列互换,即可将A变为左上角元素不为零的矩阵.然后再按a110的情形进行.,若A的主对角线上所有元素均为零,而第一列中有某个元素ak10, 可将第k行加,A是对称矩阵,有ai1=a1i,i=2,n. 故这样必使得A的第一行除a11外其余元素全变为零,从
8、而A变成了第一行及第一列除a11外其余元素全为零的对称矩阵.,，,到第一行,再将第k列加到第一列.由于akk= 0,这样做的结果将使左上角元素变为2ak1 0 .然后再按a110的情形进行.,对已变为,形状的矩阵,其中Bn-1是n-1阶的对称矩阵,继续对Bn-1进行上述变换,最后必可变为对角形矩阵. 证毕.,例6.2.3 设二次型 f 为,上述定理实际上给出了用初等变换化二次型为标准形的具体方法.,解 f 对应的对称矩阵为,用初等变换化 f 为标准形.,对A进行定理6.2.2所示的变换.由于A的主对角线元素全为零,将第二行加到第一行,再将第二列加到第一列,得,现在可将第一行乘以,-1,-1分别
9、,加到第二,三,四行,再将第一列乘以,-1, -1分别加到第二,三,四列, 得,，,最后将第三行乘以,加到第四列,得,加到第四行, 再,将第三列乘以,，,，,于是，得到二次型 f 的一个标准形,上面三次初等行变换对应的初等矩阵分别为,总的行变换矩阵为,(6.2.5),，,，,初等变换法虽然本质上与配方法是一致的,但它充分运用了矩阵这一简便有力的表述和运算工具,是实际运算时常用的方法.,这样,二次型f 经过可逆线性变换X= PT Y 变成标准形式(6.2.5).,，,，,当考虑的数域P为实数域R时,二次型的化简有更进一步的结果.,6.2.3 正交变换法,由定理5.3.5可知，对于n阶实对称矩阵A
10、,必有n阶正交矩阵Q使,其中，Q的列向量是A的n个正交的单位特征向量,1,2,n是A的全部实特征值.,，,，,定理6.2.3 设f =XTAX是实数域R上的二次型,则必有可逆线性变换X=QY使f =YT(QTAQ)Y =,由此可以立即得到关于实二次型化为标准型的如下结论.,其中的Q是正交矩阵,标准形中平方项的系数是A的全部实特征值.,当Q为正交阵时,称线性变换X = QY为正交线性替换.合同变换QTAQ称为正交合同变换.这样,由定理6.2.3可知，实二次型必可经正交线性变换化为标准形.实对称矩阵必可由正交的合同变换化为对角形.,，,，,由于Q为正交矩阵时, QT=Q-1 ,QTAQ = Q-1
11、AQ,从而实对称矩阵的正交合同变换与正交相似变换完全是一回事. 把第五章5.3.3中实对称矩阵相似对角化的方法完全照搬过来,就是实对称矩阵的正交合同对角化方法.,正交线性替换X=QY在实际应用中有特殊意义.例如在三维实向量空间中,正交线性替换保持向量的长度和向量间的夹角不变,若一个二次曲面f (x1,x2,x3)=0的左边是实二次型,则经过正交线性变换后,，,，,所得曲面保持原曲面的大小,形状不变,仅仅是在空间的位置变化了(如经过某种旋转).而一般的可逆线性变换则可能使曲面的大小、形状都产生变化.因此，正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。,例6.2.4 设实二次型,用正交线性变换
12、化为标准形.,解 f 对应的实对称矩阵为,，,，,由A的特征多项式,，,可得A的特征值1=-1,2=2,其中1是重根.,当1=-1时,解线性方程(-E-A)X=0,求得基础解系,，,，,再单位化,得,先把1,2正交化：,，,，,，,将其单位化得,当2=2时,解方程组(2E-A)X=0,求得基础解系,，,令,则Q为正交矩阵,且,即A经正交合同变换化成了对角形,相应地f经正交的线性替换X=QY化成标准形,定理6.2.2 任一个数域,证 设,行的,倍加到第,第一列除,第一列的,倍加到第,上的对称矩,阵,都可以经由初等变换化为标准形,只,要在每次初等行变换后紧接着进行一次同 样的初等列变换即可.,左上
13、角元素,则可将第一,行,这样,的,外将全变为零.然后同样地将,列,由于,是对称矩阵,有,.故这样必,使得,的第一行除,外其余元素全变为零,从而,变成了第一行及第一列除,外其余,元素全为零的对称矩阵.,若,左上角元素,而主对角线上,有某个元素,则可将第一行与第,行互,换, 再将第一列与第,列互换,即可将,变为左上角元素不为零的矩阵.然后再按,的情形进行.,若,的主对角线上所有元素均为零,而,第一列中有某个元素,可将第,行加,，,到第一行,再将第,对已变为,形状的矩阵,其中,列加到第一列. 由于,这样做的结果将使左上角元素变为,.然后再按,的情形进行.,是,阶的对称矩阵,继续对,进行上述变换, 最
14、后必可变为,对角形矩阵. 证毕.,例6.2.3 设二次型,上述定理的证明过程实际上给出了用初等变换化二次型为标准形的具体方法.,解,用初等变换化,为,为标准形.,对应的对称矩阵为,对,现在可将第一行的,倍,别加到第二,三,四行,再将第一列的,倍,倍,的主对角线元素全为零,将第二行加到第一 行,再将第二列加到第一列,得,进行定理6.2.2所示的变换.由于,倍,倍分,倍分别加到第二,三,四列,得,，,最后将第三行的,倍加到第四列,得,倍加到第四行, 再,将第三列的,，,，,于是, 我们得到二次型,上面三次初等行变换对应的矩阵分别为,总的行变换矩阵为,(6.2.5),的一个标准形,，,，,初等变换法
15、虽然本质上与配方法是一致的,但它充分运用了矩阵这一简便有力的表述和运算工具,是实际运算时常用的方法.,这样,二次型,经过可逆线性变换,变成标准形式(6.2.5).,，,，,当考虑的数域为实数域,6.2.3 正交变换法,在定理5.3.5可知,对于,其中,时,二次型的,化简有更进一步的结果.,阶实对称矩阵,必有,阶正交矩阵,使,的列向量是,的,个正交的单位特,征向量,是,的全部特征值.,，,，,由此可以立即得到关于实二次型化为标准形的如下结论.,定理6.2.3 设,是实数域,上的,二次型,则必有可逆线性变换,使,其中,是正交矩阵,标准形中平方项的系,数是,的全部实特征值.,当,为正交矩阵时,称线性变换,为正交线性变换.合同变换,称为正交,合同变换.这样,由定理6.2.3可知,实二次,型必可经正交线性变换化为标准形,实对称矩阵必可由正交合同变换化为对角形.,由于,为正交矩阵时,从而实对称矩阵的正交合同变换与正交相,似变换完全是一回事.把第5章5.3.3小节中 实对称矩阵相似对角化的方法完全照搬过 来,就是实对称矩阵的正交合同对角化方法.,
