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1、 二次根式的运算第二次根式的运算第 1 1 课时课时1二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质 3)： (a0，b0)abab观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到 的积，仍是二次根式由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方 数 (2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点： 要满足 a0，b0 的条件，因为只有 a，b 都是非负数，公式才能成立 从运算顺序看，等号左边是先分别求 a，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术 平方根的积，等号右边是将非负数 a，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根 公式(a0，b0)可以推广到 3
2、个二次根式、4 个二次根式等相乘的情abab况 根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边， 或将根号外边的非负因式平方后移到根号内 当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数即 mnmn(a0，b0)abab【例 1】计算：(1)；(2)5.0.43.6453223分析：分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法解：解：(1)0.431.2.0.43.60.4 3.60.4 0.4 9(2)55 .4532233245
3、 231523 15 23152 30 2积的算术平方根的性质(1)(a0，b0)abab用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积 (2)注意事项： a0，b0 是公式成立的重要条件如，实际上公式中(4) (9)49的 a，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要 ab0 即可 公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的 (3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的 (4)(a0，b0)可以推广为(a0，b0，c0)abababcabc计算形如的式子时，应先确定符号，原式化为，再(4) (9)4 9化简【例 2】化简： (1)；(2)；30021 63
4、(3)；(50) (8)(4)(a0，b0)96a3b6分析：分析：根据积的算术平方根的性质：(a0，b0)进行化简abab解：解：(1)10.300102 310233(2)7321.21 633 7 7 93723233(3)20.(50) (8)50 8202(4)4ab3.96a3b6426a2a(b3)26a3二次根式的除法法则对于两个二次根式， ，如果 a0，b0，那么.这就是二次根式的除法法ababab则(1)二次根式的除法法则：数学表达式：如果 a0，b0，则有.语言叙述：abab两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变(理解并掌握) (2)在二次根式的除法中
5、，条件 a0，b0 与二次根式乘法的条件 a0，b0 是有区 别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则 不成立 知识点拓展：知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的 a，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)mn(a0，b0，n0)，即系数与系数相除，被开方数与被开abm an bmnab方数相除 点拨：点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被 开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把 带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字 与字母相乘时，要把
6、数字放在字母的前面，如2a 不能写成2a.66【例 3】如果成立，那么( )xx1xx1Ax0 Bx1 C0x1 D以上答案都不对 解析：解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件要求 x0，x10，则 x1.故选 D. 答案：答案：D 点拨：点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件 a0，b0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算4二次根式除法的逆用通过计算：(1) ， ，显然；(2)1625(f(4,5)24516254516251625，显然，从而我们可以发现：二次根式的除81121(f(9,11)2911811
7、219118112181121法法则也可以反过来运用，即如果 a0，b0，那么，也就是说，商的算术平方根，abab 等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 名师归纳：名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果 a0，b0，则有；abab (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根； (3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式(理解并掌握) 【例 4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内(1)5； (2)2a；3512a(3)a； (4)x(x0，y0)1ayx分析：分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改
8、写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如 5，实际上是运用了公式 a(a0)同时，此题还运用了52a2公式(a0，b0)如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号abab内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题解：解：(1)5.35523552 3515(2)0，a0.12a2a12a(2a)212a.(2a)212a2a(3) 0，a0.1aa1a(a)21a.(a)2(f(1,a)a(4)x0，y0，xyx(x)2yx.(x)2yxxy(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式 a(a0)及a2(a0，b0)；(2)根号外的
9、负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要abab判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外5最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 对最简二次根式的理解被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数 2，即每个因数或因式的指数都是 1.【例 5】若二次根式3与 2是最简同类二次根式，求 a，b 的值3ababb分析：分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式解：解：由题意，得Error!解得Erro
10、r!所以 a，b的值分别是 0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式6二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序： 二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计 算，有括号的先算括号里面的 (2)公式、法则： 整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用 (3)运算律： 整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用 乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律在进行二次根式的运算时常见的错误是： 忽略计算公式的条件；不注意式子的隐含条件；除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；
11、误认为形如的式子是能开得尽方的二次根式a2b2【例 6】计算下列各题：(1)9()；145323512223(2)2ab3()a2bab121a分析：分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除解：解：(1)9()145323512223(9 )32121453583(9 )23121455383333；88122 29229 223 2(2)2ab3()2ab3( )a2bab121a12a2bab1a12ab12aba2babaa412aba212a3b
12、.7二次根式的化简 (1)化二次根式为最简二次根式的方法：如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分 式的形式，然后把分母化为有理式 如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或 因式开出来 (2)口诀 “一分、二移、三化” “一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质 因数(或质因式)的幂的积的形式 “二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把 根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上 “三化”即化去被开方数的分母 (3)化去分母中的根号 化去分母中的根
13、号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子， 使它与分母相乘得整式 下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式 与；aaa与 a；bb与；ababac与 ac.bdbd化去分母中的根号时，分母要先化简 (4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式 【例 7】(1)当 ab0 时，化简，得_ab2(2)把代数式 x根号外的因式移到根号内，化简的结果为_1x(3)把化成最简二次根式是_x3(x1)2(4)化简时，甲的解法是：，乙的解35 235 23(r(5)r(2)(r(5)r(2)(r(5)r(2)52法是：，以下判断正确的是( )35 2
14、(r(5)r(2)(r(5)r(2)5 252A甲正确，乙不正确 B甲不正确，乙正确 C甲、乙的解法都正确 D甲、乙的解法都不正确 解析：解析：(1)在中，因为 ab20，所以 abb0.ab2因为 ab0，b0，所以 b0，a0.原式b.b2aa(2)因为 0，又由分式的定义 x0，得 x0.所以原式(x)1x1x.(x)2(f(1,x)x(3)化简时，需知道 x，x1 的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出(x1)20(这里不能等于 0)，x30，即x0,1x0.故原式.(x)2(x)(1x)2x1x x(4)甲是将分子和分母同乘以把分母化为整数，乙是利用 3()()进525252行约分，所以二人的解法都是正确的，故选 C.答案：答案：(1)b (2)ax(3) (4)Cx1x x 8二次根式的乘除法的综合应用 利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如： (1)比较大小 比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等 对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过 比较被开方数的大小来比较原数的大小； 二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数 (2)化简求值 对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简， 再代入
