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1、十年高考分类解析与应试策略数学第十二章 复 数考点阐释 复数的概念是复数理论的基础，在解题活动中它经常是思维的突破口；围绕复数的代 数形式和三角形式给出的两类运算，体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性，这两种 形式及其运算也为我们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法；复数概念及其 运算的几何意义，为我们从几何上处理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间.正确 地进行复数各种形式间的转换，选准复数的表示形式是灵活运用复数知识处理复数与三角、 复数与几何、复数与方程综合题的关键. 试题类编1.（2003 京春文 7，理 3）设复数 z1=1+i，z2=i，则 a
2、rg等于（ ）23 2121 zzA. B. C. D.125 125 127 12132.（2003 上海春，14）复数 z=（mR，i 为虚数单位）在复平面上对应的点iim 212 不可能位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（2002
3、 京皖春，4）如果（，） ，那么复数（1i） （cosisin）的辐2角的主值是（ ）A.B.C.D.49 4 4474 （2002 全国，2）复数（i）3的值是（ ）23 21A. iB.iC.1D.1 5.（2002 上海，13）如图 121，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合 是（ ）图 1216.（2001 全国文，5）已知复数，则 arg是（ ）i 62 z1A. B.C.D.6 611 3 357.（2000 京皖春文，11）设复数 z11i 在复平面上对应向量，将按顺
4、1OZ1OZ时针方向旋转后得到向量，令对应的复数 z2的辐角主值为，则 tan等652OZ2OZ于（ ）A.2 B.2 33C.2D.2338.（2000 全国，2）在复平面内，把复数 3i 对应的向量按顺时针方向旋转，33所得向量对应的复数是（ ）A.2 B.2i 33C.3i D.3+i339.（2000 上海理，13）复数 z（i 是虚数单位）的三角形式是)5sin5(cos3i（ ）A.3cos（）isin（） B.3（cosi
5、sin）555 5C.3（cosisin）D.3（cosisin）54 54 56 5610.（2000 京皖春，1）复数 z13i，z21i，则 zz1z2在复平面内的对应点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.（2000 京皖春理，11）设复数 z12sinicos（在复平面上对应4 2)向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为 z21OZ1OZ432OZ2OZr（cosisin） ，则 tan等于（ ）A.B. 1tan2ta
6、n2 1tan21tan2 C.D.1tan21 1tan21 12.（1998 全国，8）复数i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是（ ）A. B. i21 23i21 23C. D.i21 23i21 2313.（1996 全国，4）复数等于（ ）54)31 ()22( ii A.1+i B.1+i 33C.1i D.1i3314.（1994 上海，16）设复数 z=i（i 为虚数单位） ，则满足等式 zn=z 且大于23 211
7、 的正整数 n 中最小的是（ ） A.3 B.4 C.6 D.7 15.（1994 全国，9）如果复数 z 满足|z+i|+|zi|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D.25二、填空题16.（2003 上海春，6）已知 z 为复数，则 z+2 的一个充要条件是 z 满足 .z17.（2002 京皖春，16）对于任意两个复数 z1x1y1i，z2x2y2i（x1
8、、y1、x2、y2为 实数） ，定义运算“”为：z1z2x1x2y1y2设非零复数 w1、w2在复平面内对应的点分 别为 P1、P2，点 O 为坐标原点如果 w1w20，那么在P1OP2中，P1OP2的大小为 18.（2002 上海，1）若 zC，且（3z）i1（i 为虚数单位） ，则 z 19.（2001 上海春，2）若复数 z 满足方程i=i1（i 是虚数单位） ，则 z=_.z20.（1997 上海理，9）已知 a=（i 是虚数单位） ，那么 a4=_.ii 213 21.（1
9、995 上海，20）复数 z 满足（1+2i）=4+3i，那么 z=_.z三、解答题22.（2002 上海春，17）已知 z、w 为复数， （13i）z 为纯虚数，w，且|w|5iz 2，求 w223.（2002 江苏，17）已知复数 z1i，求实数 a，b 使 az2b（a2z）2z24.（2001 京皖春，18）已知 z71（zC 且 z1）. （）证明 1zz2z3z4z5z60； （）设 z 的辐角为，求 coscos2cos4的值.25.（2001 全国理，18）已知复数 z1i（1i）3.（）求 argz1及|z1|； （）当复数 z 满足|z|1，求|zz1|的最大值. 26.（
10、2001 上海理，20）对任意一个非零复数 z，定义集合 Mzw|wz2n1，nN （）设是方程 x的一个根，试用列举法表示集合 M；21x（）设复数Mz，求证：MMz 27.（2001 上海文，20）对任意一个非零复数 z，定义集合 Mzw|wzn，nN （）设 z 是方程 x+=0 的一个根，试用列举法表示集合 Mz若在 Mz中任取两个数，x1求其和为零的概率 P； （）若集合 Mz中只有 3 个元素，试写出满足条件的一个 z 值，并说明理由 28.（2000 上海春，18）设复数 z 满足|z|5，且（34i）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|zm|5（mR） ，求 z
11、 和 m 的值.2229.（2000 上海理，22）已知复数 z01mi（M0） ，zxyi 和xyi，其 中 x，y，x，y均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数 z，有，|2|z|0zz（）试求 m 的值，并分别写出 x和 y用 x、y 表示的关系式； （）将（x，y）作为点 P 的坐标， （x，y）作为点 Q 的坐标，上述关系式可以 看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q. 当点 P 在直线 y=x+1 上移动时，试求点 P 经该变换后得到的点 Q 的轨迹方程； （）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若 存在，试求出所
12、有这些直线；若不存在，则说明理由.30.（1999 全国理，20）设复数 z3cosi2sin.求函数 yargz（0）的最大值以及对应的值.231.（1999 上海理，19）已知方程 x2（4i）x4ai0（aR）有实数根 b，且z=a+bi，求复数（1ci） （c0）的辐角主值的取值范围.z32.（1999 上海文，19）设复数 z 满足 4z+2=3+i，=sinicos（R）.z3求 z 的值和|z|的取值范围.33.（1998 上海文，18）已知复数 z1满足（z12）i=1+i，复数 z2的虚部为 2，且z1z2是实数，求复数 z2的模.34.（1998 上海理，18）已知向量所表
13、示的复数 z 满足（z2）i=1+i，将绕OZOZ原点 O 按顺时针方向旋转得，设所表示的复数为 z，求复数 z+i 的41OZ1OZ2辐角主值.35.（1997 全国文，20）已知复数 z=i，w=i，求复数 zw+zw3的模23 2122 22及辐角主值.36.（1997 全国理，20）已知复数 z=i，=i.复数 z，z23在复23 2122 22数平面上所对应的点分别是 P、Q.证明：OPQ 是等腰直角三角形（其中 O 为原点）. 37.（1997 上海理，20）设虚数 z1，z2满足 z12=z2. （1）若 z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求 z1、z2；（2）若 z1
14、=1+mi（m0，i 为虚数单位） ，=z22，的辐角主值为，求的取值范围.38.（1996 上海理，22）设 z 是虚数，w=z+是实数，且12.z1（）求|z|的值及 z 的实部的取值范围；（）设 u=，求证：u 为纯虚数；zz 11（）求 wu2的最小值.39.（1995 上海，22）已知复数 z1、z2满足|z1|=|z2|1，且 z1+z2=i.求 z1、z2的23 21值.40.（1995 全国文，22）设复数 z=cos+isin，（，2）.求复数 z2+z 的模和辐角.41.（1995 全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中
15、 O 是原点） ，已知 Z2对应复数 z2=1+i，求 Z1和 Z3对应的复数.342.（1994 全国理，21）已知 z=1+i，（）设 w=z2+34，求 w 的三角形式.z（）如果=1i，求实数 a，b 的值.122 zzbaxz43.（1994 上海，22）设 w 为复数，它的辐角主值为，且为实数，求复43 4)(2数 w. 答案解析 1.答案：B 解析一：通过复数与复平面上对应点的关系，分别求出 z1、z2的辐角主值.argz1=，argz2=.43 3所以 arg0，2） ，125 34321zzarg.12521zz解析二：因为.iii ii zz)21 23()21 23()2
16、3 21)(1(23 21121 在复平面的对应点在第一象限.故选 B 评述：本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念，同时考查了灵活 运用知识解题的能力，体现了数形结合的思想方法. 2.答案：A解析：由已知 z=（m4）2（m+1）i在复平面51 )21)(21 ()21)(2( 212 iiiim iim对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能 0104 mm位于第一象限. 3.答案：B解析：（1i） （cosisin）（cosisin） （cosisin）24 4cos（）isin（） 24 4（，） （，）2 4 43 45该复数的辐角主值是44.答案：C解法一：（i）3（cos60isin60）3cos180isin180123 21解法二：，ii23 21,23 211)()()23 21(333i5.答案：D 6.答案：D解法一：35arg21arg),3sin3(cos22)23 21(22zziiz解法二： )31 (2iz22311i z应在第四
