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1、广西钦州市第二中学 2018 年春季学期八年级数学 17.2 勾股定理的逆定理 同步测试卷解析版 一、一、 选择题选择题 1. ABC 的三边长分别为 a,b,c,下列条件:A=B- C;A:B:C=3:4:5;a =(b+c)(b-c); 2 a:b:c=5:12:13,其中能判断ABC 是直角三角形的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案: C 解析: A=B-C,A+B+C=180,解得B=90,故是直角 三角形; A:B:C=3:4:5,A+B+C=180,解得A=45, B=60,C=75,故不是直角三角形; a =(b+c)(b-c),a +c =b ,符合勾股
2、定理的逆定理,故是 2222 直角三角形; a:b:c=5:12:13,a +c =b ,符合勾股定理的逆定理,故是 222 直角三角形 能判断ABC 是直角三角形的个数有 3 个; 故选 C 考点:1.勾股定理的逆定理;2.三角形内角和定理 2. 如图,在 RtABC 中,ACB=90,点 D 是 AB 的中点,且 CD= ,如 果 RtABC 的面积为 1,则它的周长为( ) A B +1 C +2 D +3 答案: D 解析: 在 RtABC 中,ACB=90,点 D 是 AB 的中点,且 CD= , 试卷第 2 页,总 14 页 AB=2CD= AC 2 +BC 2 =5 又 RtAB
3、C 的面积为 1, ACBC=1,则 ACBC=2 (AC+BC) 2 =AC 2 +BC 2 +2ACBC=9, AC+BC=3(舍去负值), AC+BC+AB=3+ ,即ABC 的周长是 +3 故选 D 考点:1.勾股定理 2.直角三角形斜边上的中线 3. 如图,四边形 ABCD 中,AB=AD,ADBC,ABC=60,BCD=30, BC=6,那么ACD 的面积是( ) A B C2 D 答案: A 解析: 如图,过点 A 作 AEBC 于 E,过点 D 作 DFBC 于 F 设 AB=AD=x 又ADBC, 四边形 AEFD 是矩形形, AD=EF=x 在 RtABE 中,ABC=60
4、,则BAE=30, BE= AB= x, DF=AE= = x, 在 RtCDF 中,FCD=30,则 CF=DFcot30= x 又 BC=6, BE+EF+CF=6,即 x+x+ x=6, 解得 x=2 ACD 的面积是: ADDF= x x= 2 2 = 故选 A 考点:1.勾股定理 2.含 30 度角的直角三角形 4. 在 RtABC 中,C=90,AC=9,BC=12,则点 C 到 AB 的距离是( ) A B C D 答案: A 解析: 根据题意画出相应的图形,如图所示: 在 RtABC 中,AC=9,BC=12, 根据勾股定理得:AB= , 过 C 作 CDAB,交 AB 于点
5、D, 又 S ABC = ACBC= ABCD, CD= , 试卷第 4 页,总 14 页 则点 C 到 AB 的距离是 故选 A 考点:1.定理;2.直线的距离;3.形的面积 5. 如图所示,直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为 、 、 ,则 、 、 的关系是( ) A + = B C D 答案: A 解析: 设直角三角形各边长为 2a、2b、2c,如图所示: 三角形是直角三角形, (2a) 2 +(2b) 2 =(2c) 2 , 化简得:a 2 +b 2 =c 2 , S 1 = a 2 ,S 2 = b 2 ,S 3 = c 2 ; S 1 +S 2 = (a 2 +b 2 )=
6、c 2 =S 3 故选 A 考点:勾股定理 6. 如图,在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中,如图 从 A 点到 B 点只能沿图中的线段走,那么从 A 点到 B 点的最短距离的走法 共有( ) A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 答案: C. 解析: 如答图所示,从 A 点到 B 点的走法有若干种,其中, 走法 1,2,3 的距离是 ; 走法 4,5,6 的距离是 5; 走法 7,8,9,10 的距离是 . ,走法 1,2,3 的距离最短. 从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有 3 种. 故选 C. 考点:1.网格问题;2.勾股定理的应用;3.实数的大小比较;4.
7、分类思想 的应用 7. 如图,ABC 中,AB=AC=5,BC=6,M 为 BC 的中点,MNAC 于 N 点,则 MN=( ) A B C D 答案: C 解析: 连接 AM, 试卷第 6 页,总 14 页 AB=AC,点 M 为 BC 中点, AMCM,BM=CM, AB=AC=5,BC=6, BM=CM=3, 在 RtABM 中,AB=5,BM=3, 根据勾股定理得:AM= , 又 S AMC = MNAC= AMMC, MN= 故选 C 考点:1.勾股定理;2.等腰三角形的性质 8. 如图,一个无盖的正方体盒子的棱长为 2,BC 的中点为 M,一只蚂蚁从 盒外的 D 点沿正方体的盒壁爬
8、到盒内的 M 点(盒壁的厚度不计),蚂蚁爬 行的最短距离是( ) A B C D 答案: D 解析: 利用侧面展开图形成平面图, 由题意得到直角三角形 NDM,DN=3,NM=4,因而可求最短路线为 MD= =5. 考点:勾股定理 9. 如图是一个三级台阶,它的每一级的长,宽,高分别为 100cm,15cm 和 10cm,A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁想到 B 点去 吃可口的食物,则它所走的最短路线长度为 ( ) A115cm B125 cm C135cm D145cm 答案:B 解析: 三级台阶平面展开图为长方形,长为 100cm,宽为 , 则蚂蚁沿台阶面爬行到点
9、最短路程是此长方形的对角线长. 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为 , 由勾股定理得 :, 解得: .故选:B 考点:1.平面展开-最短路径问题;2.勾股定理. 试卷第 8 页,总 14 页 10. 如图,一个无盖的正方体盒子的棱长为 2,BC 的中点为 M,一只蚂蚁从 盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点,蚂蚁爬行的最短距离是 ( ) A B C1 D 答案:B 解析: 根据已知得出蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点, 蚂蚁爬行的最短距离是如图 BM 的长度,进而得到 A 1 B=2+2=4,A 1 M=1, 利用勾股定理求出 BM= 故选:B 考点:勾股定理 1
10、1. 如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其 中最大的正方形边长为 10 cm,正方形 A 的边长为 6 cm、B 的边长为 5 cm、C 的边长为 5 cm,则正方形 D 的边长为( ) A B4 cm C D3 cm 解析: 根据勾股定理,正方形 E 的边长为 ,正方形 F 的边 长为 ,正方形 D 的边长为 答案: A 12. 下列三角形中,是直角三角形的是( ) A.三角形的三边满足关系 a+b=c B.三角形的三边长分别为 3 2 ,4 2 ,5 2 C.三角形的一边等于另一边的一半 D.三角形的三边长为 7,24,25 解析: 要满足勾股定理逆定理,D 中 7
11、 2 +24 2 =25 2 .所以选 D. 答案: D 二、二、 填空题填空题 13. 已知一个直角三角形的两边长分别为 4 和 3,则它的面积为 _ 答案: 6 或 解析: 设另一边长为 x,分 4 为直角三角形的斜边与直角边两种情况进行 解答 解:设另一边长为 x, 当 4 为直角三角形的斜边时,x= ,故 S= 3 = ; 当 4 为直角三角形的直角边时,S= 43=6 故答案为:6 或 考点:勾股定理 14. 如图,每个小正方形的边长为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,则 ABC 的度数为_。 试卷第 10 页,总 14 页 答案: 45 解析: 连接 AC 根据勾股定理可以得到:
12、AC=BC= ,AB= , + = ,即 AC 2 +BC 2 =AB 2 , ABC 是等腰直角三角形 ABC=45 考点:1.勾股定理;2.勾股定理的逆定理;3.等腰直角三角形 15. 在ABC,ABAC5,BC6,若点 P 在边 AC 上移动,则 BP 的最小值 是_. 答案: 解析: 根据垂线段最短,得到 BPAC 时,BP 最短,过 A 作 ADBC,交 BC 于点 D, AB=AC,ADBC, D 为 BC 的中点,又 BC=6, BD=CD=3, 在 RtADC 中,AC=5,CD=3, 根据勾股定理得:AD= , 又S ABC = BCAD= BPAC, BP= = =4.8
13、故答案为:4.8 考点:1.勾股定理;2.垂线段最短. 16. 在ABC 中,C=900,,BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从 C 点出发,以 每分 20cm 的速度沿 CA-AB-BC 的路径再回到 C 点,需要 分的时间. 答案:12 本题考查的是勾股定理的应用 运用勾股定理可求出斜边 AB 的长,然后可求出直角三角形的周长即蜗牛所 走的总路程,再除以蜗牛的行走速度即可求出所需的时间 , , , 蜗牛行走的总路程 , 故所需时间为 分。 三、三、 解答题解答题 17. A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 320km 的 B 处,以每小时 40km 的速度向北偏东 60的 B
14、F 方向移动,距离台风中心 200km 的范围内 是受台风影响的区域 (1)自己画出图形并解答:A 城是否受到这次台风的影响?为什么? (2)若 A 城受到这次台风影响,那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间? 答案:(1)作图见解析,A 城要受台风影响,理由见解析;(2)6 小时. 解析: (1)点到直线的线段中垂线段最短,故应由 A 点向 BF 作垂线,垂 足为 C,若 AC200 则 A 城不受影响,否则受影响; (2)点 A 到直线 BF 的长为 200 千米的点有两点,分别设为 D、G,则ADG 是等腰三角形,由于 ACBF,则 C 是 DG 的中点,在 RtADC 中,解出 CD
15、的长,则可求 DG 长,在 DG 长的范围内都是受台风影响,再根据速度与距 离的关系则可求时间 试题解析:(1)由 A 点向 BF 作垂线,垂足为 C, 试卷第 12 页,总 14 页 在 RtABC 中,ABC=30,AB=320km,则 AC=160km, 因为 160200,所以 A 城要受台风影响; (2)设 BF 上点 D,DA=200 千米,另一点 G,有 AG=200 千米 DA=AG, ADG 是等腰三角形, ACBF, AC 是 DG 的垂直平分线,CD=GC, 在 RtADC 中,DA=200 千米,AC=160 千米, 由勾股定理得, CD= =120 千米, 则 DG=2DC=240 千米, 遭受台风影响的时间是:t=24040=6(小时) 考点:勾股定理的应用 18. 如图,在ABC 中,ADBC,垂足为 D,B=60,C=45 (1)求BAC 的度数 (2)若 AC=2,求 AD 的长 答案: (1)75;(2) . 解析: (1)根据三角形内角和定理,即可推出BAC 的度数; (2)由题意可知 AD=D