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1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征,第二章 2.2 用样本估计总体,学习目标 1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征. 2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差. 3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 众数、中位数、平均数,思考1 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？思考2 在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？,答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的
2、缺点是平均数受数据中极端值的影响较大.答案 为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分.,梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数 的数. (2)中位数：把一组数据按 的顺序排列，处在 位置的数(或中间两个数的 )叫做这组数据的中位数. (3)平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么 叫做这n个数的平均数.,最多,从小到大(或从大到小),中间,平均数,知识点二 方差、标准差,思考1 当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？思考2 标准差、方差的意义是什么？,答案 当样本数据的标准差为0时，该组数据都
3、相等.答案 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.,平均距离,知识点三 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,1.样本的基本数字特征包括 、 、 、 . 2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的.因此，还需要用标准差来反映数据的分散程度. 3.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道.所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与
4、标准差.虽然样本具有 性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.,众数,中位数,平均数,标准差,随机,思考辨析 判断正误 1.中位数是一组数据中间的数.( ) 2.众数是一组数据中出现次数最多的数.( ) 3.一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近.( ),题型探究,命题角度1 众数、中位数、平均数的计算 例1 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：,类型一 众数、中位数和平均数的理解与应用,解答,(1)求该公司职工月工资的平均数；,解 公司职工月工资的平均数为,解答,(2)若董事长、副董事长的工资
5、分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工月工资新的平均数又是什么？,解 若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为,反思与感悟 (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量. (2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题. (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中. (4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.,(5
6、)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.,跟踪训练1 对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论： 这组数据的众数是3；这组数据的众数与中位数的数值不相等；这组数据的中位数与平均数的数值相等；这组数据的平均数与众数的数值相等. 其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,解析 在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3
7、； 将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；,命题角度2 用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 例2 已知一组数据： 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128,(1)填写下面的频率分布表：,解答,解 频率分布表如下：,解答,(2)作出频率分布直方图；,解 频率分布直方图如下：,解答,(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.,解 在125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值
8、作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.,反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征： 众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； 中位数左右两侧直方图的面积相等； 平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.,跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.,四个矩形的面积分别是0.0250.1, 0.02100.2, 0.02250.5, 0.02100.2.,解答,平均数为39.960.139.980.2400.
9、540.020.239.996.,类型二 标准差、方差的应用,例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1).,解答,所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.,反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小. (2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散. (3)若样本数据都相等，则s0. (4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字
10、特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.,跟踪训练3 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；,解答,解 由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分.,(2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.,解答,从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高.,达标检测,答案,解析,1.某市2017年各月的平均气温()数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是 A.19 B.20 C
11、.21.5 D.23,1,2,3,4,5,解析 由茎叶图知，平均气温在20以下的有5个月，在20以上的也有5个月，恰好是20的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.,答案,2.设样本数据x1，x2，x10的平均数和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的平均数和方差分别为 A.1a,4 B.1a,4a C.1,4 D.1,4a,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,且yixia(i1,2，10)，,3.已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_.,1,2,3,4,5,解析,答案,6,4.若样本数据x1
12、，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为_.,1,2,3,4,5,解析,答案,16,解析 设样本数据x1，x2，x10的标准差为s， 则s8，可知数据2x11,2x21，2x101的标准差为2s16.,解答,1,2,3,4,5,5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74. (1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；,这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解答,(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差.,1.利用直方图求数字特征：众数是最高的矩形的底边的中点.中位数左右两边直方图的面积应相等.平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 2.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差. 3.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.,规律与方法,
