4.2直线、射线、线段（提高）知识讲解

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1、直线、射线、线段（提高）知识讲解直线、射线、线段（提高）知识讲解撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标学习目标】 1理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系； 2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题； 3利用线段的和差倍分解决相关计算问题 【要点梳理要点梳理】 要点一、直线要点一、直线 1概念：概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常 用“一根拉得紧的细线” 、 “一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述 2. 表示方法：表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图 1 所示，可表 示为直线 AB(或直线 BA)（2）也可以用一个小写

2、英文字母表示，如图 2 所示，可以表示为直线 l3.基本性质：基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线简单说成：两点确定一条直线 要点诠释：要点诠释： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸 （2）直线没有粗细 （3）两点确定一条直线 （4）两条直线相交有唯一一个交点 4.4.点与直线的位置关系：点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图 3 所示，点 A 在直线 m 上，也可以说：直线 m 经过点 A （2）点在直线外，如图 4，点 B 在直线 n 外，也可以说：直线 n 不经过点 B要点二、线段要点二、线段 1.1.概念：概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段 2.2.表

3、示方法：表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段 AB 或 线段 BA （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图 5 所示，记作：线段 a3. “作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段”的两种方法：的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取 ABa法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段例如：可以先量出线 段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段4. .基本性质：基本性质：两点的所有连线中，线段最短简记为：两点之间， 线段最短 如图 6 所示，在 A，B 两点所连的线中，线段 AB 的长度是最

4、短的要点诠释：要点诠释： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短 （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 （3）线段的比较： 度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短 叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个 端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短5. .线段的中点：线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如图 7 所示，点 C是线段 AB 的中点，则，或 AB2AC2BC1 2ACCBAB要点诠释：要点诠释： 若点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 一定在线段 AB 上

5、要点三、射线要点三、射线1. .概念：概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点 如图 8 所示，直线 l 上点 O 和它一旁的部分是一条射线，点 O 是端点l2. .特征：特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长 3. .表示方法：表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线 上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图 8 所示，可记为射线 OA（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 8 所示，射线 OA 可记为射线 l 要点诠释：要点诠释： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线如图 9 中射线 OA，射线 OB

6、是不同的 射线(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线如图 10 中射线 OA、射线 OB、 射线 OC 都表示同一条射线图 6图 7图 8图 9要点四、直线、射线、线段的区别与联系要点四、直线、射线、线段的区别与联系1. .直线、射线、线段之间的联系直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系在直线上任取一点，则可将 直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线 （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得 到直线 2三者的区别如下表三者的区别如下表要点诠释：要点诠释： （1） 联系与

7、区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线” “射线” “线段”字 样 【典型例题典型例题】类型一、有关概念类型一、有关概念1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段【思路点拨】从图上看，A、D、F 分别是线段 CB、BC、BE 的延长线上的点，也就是说， A、D、F 三点的位置并不是完全确定的此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线 段了图 10【答案与解析】 解：直线有一条：直线 AD；射线有六条：射线 BA、射线 BD、射线 CA、射线 CD、射线 BF、射线 EF； 线段有三条：线段 BC、线段 BE、线段 CE 【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写

8、字母的顺序可以颠倒然而，在叙述线段的 延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就 形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠 倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点举一反三：举一反三：【高清课堂：直线、射线、线段高清课堂：直线、射线、线段 39736397363 3 拓展拓展 4】4】 【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这 是为什么?画图说明. 【答案】 解：过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.） 两条不同的直线，要么有一个公共点，如图

9、（1） ；要么没有公共点，如图（2） ；不能有 两个公共点.类型二、有关作图类型二、有关作图2如图(1)所示，已知线段 a，b(ab)，画一条线段，使它等于 2a-2b【答案与解析】 解：如图(2)所示：(1)作射线 AF； (2)在射线 AF 上顺次截取 ABBCa； (3)在线段 AC 上顺次截取 ADDEb，则线段 EC 就是所要求作的线段 【总结升华】用尺规作图时，要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹举一反三：举一反三：【变式 1】下列说法正确的有 ( ) 射线与其反向延长线成一条直线； 直线 a、b 相交于点 m； 两直线相交于两个交点； 直线 A 与直线 B 相交于点 M A3

10、个 B2 个 C1 个 D4 个 【答案】 C 【变式 2】下列说法中，正确的个数有( ) 已知线段 a，b 且 a-bc，则 c 的值不是正的就是负的； 已知平面内的任意三点 A，B，C 则 AB+BCAC； 延长 AB 到 C，使 BCAB，则 AC2AB； 直线上的顺次三点 D、E、F，则 DE+EFDFA1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C类型三、个（条）数或长度的计算类型三、个（条）数或长度的计算3. 根据题意，完成下列填空如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有 1 个交点，如果在这个平面1l2l内，再画第 3 条直线，那么这 3 条直线最多有_个交点；如果在这个

11、平面内再画3l第 4 条直线，那么这 4 条直线最多可有_个交点由此我们可以猜想：在同一平4l面内，6 条直线最多可有_个交点，n(n 为大于 1 的整数)条直线最多可有_ 个交点(用含有 n 的代数式表示)【答案】3， 6， 15， .(1) 2n n【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好 3 条直线最多可有 2+13 个交点，再类推 4 条直线，5 条直线，6 条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一 般性的结论【总结升华】n(n 为大于 1 的整数)条直线的交点最多可有：个(1)123 .(1)2n nn 举一反三：举一反三：【变式 1】平面上有个点，最多可以确定 条

12、直线 n【答案】(1) 2n n【变式 2】一条直线有个点，最多可以确定 条线段， 条射线n【答案】，(1) 2n n2n【高清课堂：直线、射线、线段高清课堂：直线、射线、线段 397363397363 拓展拓展 1 1（4 4） 】 【变式 3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点? 【答案】0 个，1 个，2 个，或 3 个.4. 已知线段 AB14cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC4cm，M 是线段 AC 的中 点，求线段 AM 的长 【思路点拨】题目中只说明了 A、B、C 三点在同一直线上，无法判定点 C 在线段 AB 上， 还是在线段 AB 外(也就是在线段 AB 的延长线上

13、)所以要分两种情况求线段 AM 的长 【答案与解析】 解：当点 C 在线段 AB 上时，如图所示因为 M 是线段 AC 的中点，所以1 2AMAC又因为 ACAB-BC，AB14cm，BC4cm，所以1()2AMABBC1(144)5(cm)2当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图所示因为 M 是线段 AC 的中点，所以1 2AMAC又因为 ACAB+BC，AB14cm，BC4cm，所以9(cm)1()2AMABBC所以线段 AM 的长为 5cm 或 9cm 【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况， 即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类

14、讨论举一反三：举一反三：【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段 AB2(单位长度)，CD4(单位 长度)，点 A 在数轴上表示的数是-10，点 C 在数轴上表示的数是 16若线段 AB 以 6个单 位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动(1)问运动多少秒时，BC8(单位长度)(2)当运动到 BC8(单位长度)时，点 B 在数轴上表示的数是_(3)P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上时，是否存在关系式3BDAP PC若存在，求线段 PD 的长；若不存在，请说明理由【答案】 解：(1) 点 B 在数轴上表示的数是-8

15、，设运动 t 秒时，BC8（单位长度） ，则：当点 B 在点 C 的左边时，6t+8+2t24t2(秒)当点 B 在点 C 的右边时，6t-8+2t24t4(秒)答：当 t 等于 2 秒或 4 秒时，BC8(单位长度)(2) 由（1）知：当 t2(秒)时，B 点坐标为：-8+6t=8+62=4（单位长度） 当 t4(秒)时，B 点坐标为：-8+6t=8+64=16（单位长度）所以答案为：4 或 16(3) 存在，若存在，则有：BDAP+3PC，设运动时间为 t(秒)，则：1当 t3 时，点 B 与点 C 重合，点 P 在线段 AB 上，OPC2 且 BDCD4，AP+3PCAB+2PC2+2PC所以：2+2PC=4，解得：PC1此时， PD52当时，点 C 在点 A 与点 B 之间，OPC21334t 点 P 在线段 AC 上时BDCD-BC4-BCAP+3PCAC+2PCAB-BC+2PC2-BC+2PC由 4-BC=2-BC+2PC， 可得： PC1， 此时 PD5点 P 在线段 BC 上时BDCD-BC4-BC， AP+3PCAC+4PCAB-BC+4PC