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1、有理数有理数全章复习与全章复习与巩固（基础）巩固（基础）撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标学习目标】1理解正负数的意义，掌握有理数的概念. 2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识. 4. 理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用； 5. 体会数学知识中体现的一些数学思想. 【知识网络知识网络】源源:学学#科科#网网 Z#X#X#K【要点梳理要点梳理】 要点一、有理数的相关概念要点一、有理数的相关概念 1.1.有理数的分类：有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类：要点诠释：要点
2、诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0 是自然数、是有理数表示没有3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示表示某种状态 表示冰点00 C表示正数与负数的界点0 非正非负，是一个中性数2 2数轴：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点诠释：要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如.（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3 3相反数：相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0. 要点诠释：要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到
3、原点的距离相等，这两点是关于原点对称的 （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负.4 4绝对值：绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 数 a 的绝对值记作. a（2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.要点二、有理数的运算要点二、有理数的运算 1 1 法则：法则：（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的
4、绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0 相加，仍得这个数.（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即 a-b=a+(-b) .（3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同 0 相乘，都得 0.（4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.即 ab=a(b0) .1 b（5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0.(6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：要点诠释：“奇
5、负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）=3，+（3）=3.（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）=36，而（3）（2）6=36.（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， .2( 3)93( 3)27 2 2运算律：运算律： （1）交换律: 加法交换律:a+b=b+a; 乘法交换律:ab=ba;（2）结合律: 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); 乘法结合律：（ab）c=a(bc) (3)分配律：a(
6、b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法 （4）作商比较法；（5)倒数比较法要点四、科学记数法要点四、科学记数法 1.1. 科学记数法：科学记数法：把一个大于 10 的数表示成的形式（其中，是正整数） ，10na110an此种记法叫做科学记数法.例如：200 000=.52 102.2.有效数字：有效数字：从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.如：0.000 27 有两个有效数字：
7、2，7.注意：万=，亿=104108【典型例题典型例题】类型一、有理数相关概念类型一、有理数相关概念1若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本 身则这个数分别为(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；（5） _【答案】 （1）0； (2)1 和-1；(3)正数和 0；(4)1 和 0；(5)-1、0 和 1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：举一反三：【高清课堂：有理数专题复习高清课堂：有理数专题复习 357133357133 概念的理解与应用概念的理解与应用】【变式】(1)
8、的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 .321321321-（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_21(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8 元的意义是 _ ；如果这种油的原价是 76 元，那么现在的卖价是 . (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长 30km，单程运行时间约为 8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 mmin.(4) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则_ .)(323bacd(5) 近似数 0.4062 精确到 位，有 个有效数字;近似数 5.47105精确到 位，有 个有效数字;近似数 3.5 万精确到 位，有 个有效数字.(
9、6) 3.4030105保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .【答案】 （1）； ； ；-8；2 （2）降价 5.8 元，70.2 元；（3）；（4）3 521321333.75 103； （5）万分，4；千，3；千，2 （6）3.4105，3.401052 如果(x-2)2+|y-3|0，那么(2x-y)2005的值为( )A1 B-1 C22006 D32005 【思路点拨】利用非负数的性质，求出的值再代入计算y, x 【答案】A 【解析】 因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|0， 所以由非负数的性质先求出 x=2， y =3 的值，代入得： (2x-y)20
10、05=12005=1【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性.3.在下列两数之间填上适当的不等号：_2005 20062006 2007 【思路点拨】根据“a-b0，a-b0，a-b0 分别得到 ab，ab，ab”来比较两数的大 小 【答案】 【解析】法一：作差法由于，所以200520062005 20072006 200610200620072006 20072006 2007 20052006 20062007法二：倒数比较法：因为2006112007112005200520062006 所以20052006 20062007【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.举一
11、反三：举一反三：【变式】比较大小：(1)_0.001； (2)_-0.681 992 3【答案】 （1） （2）类型二、有理数的运算类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习高清课堂：有理数专题复习 357133357133 有理数的混合运算有理数的混合运算】4( (1) ) ( (2) ) 211143623324()(. )() 51531 51244( (4) )( ) 23541324121522. 1377751112 534812863( (5) ) 1003 22151122 1132【答案与解析】 （1）原式21111143622332412 （2）原式54342 1215
12、239 （3）原式3132( 4)12 ( 15 16)104 （4）原式125611( 2) 1()233253 （5）1125 1 12()4 11 9 2 原原 3.9 【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有 倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)ab+ac；逆向应用 分配律：ab+aca(b+c)等.举一反三：举一反三：【变式】计算：（1） ；11( 2)( 2)22 （2）231111312112132442434( 0.2) 【答案】 （1）111( 2)( 2)( 1)( 2)( 1) 2 ( 2)4
13、222 （2）原式 312457551241654341 5 14575524242412540434 127056330 12540 1391211204040 类型三、数学思想在本章中的应用类型三、数学思想在本章中的应用5.（1）数形结合思想：数形结合思想：有理数 a 在数轴上对应的点如图所示，则 a，-a，1 的大小关系.A-aa1 B1-aa C1-aa Da1-a （2）分类讨论思想：）分类讨论思想：已知|x|5，|y|3求 x-y 的值（3）转化思想：计算：）转化思想：计算：3135()147 【答案与解析】 （1）将-a 在数轴上标出，如图所示， 得到 a1-a，所以大小关系为：a1-a.所以正确选项为：D （2）因为| x|5，所以 x 为-5 或 5因为|y|3，所以 y 为 3 或-3 当 x5，y3 时，x-y5-32当 x5，y-3 时，x-y5-(-3)8当 x-5，y3 时，x-y-5-3-8当 x-5，y-3 时，x-y-5-(-3)-2故（x-y）的值为2 或8（3）原式=33135( 7)35 7724614142 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段.数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标
