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1、*4 场论初步,在物理学中, 曲线积分和曲面积分有着广泛的应用. 物理学家为了既能形象地表达有关的物理量, 又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算, 使用了一些特殊的术语和记号, 在此基础上产生了场论.,一、场的概念,返回,五、管量场与有势场,四、旋度场,三、散度场,二、梯度场,一、场的概念,若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一,个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个,数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场,M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就,总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每,重力和速度都是向量场. 在引进了直角
2、坐标系后, 点,个向量场都与某个向量函数,并假定它们有一阶连续偏导数.,设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线,方向都与向量函数 在该点的方向一致, 即,磁力线等都是向量场线.,注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关.,引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来,进行计算和研究它的性质.,则称曲线 L 为向量场 的向量场线. 例如电力线、,二、梯度场,在第十七章3 中我们已经介绍了梯度的概念, 它,方向上的方向导数.,grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为,是由数量函数 所定义的向量函数,正交.,当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作,引进
3、符号向量,1. 若 u, v 是数量函数, 则,2. 若 u, v 是数量函数, 则,特别地有,梯度有以下一些用 表示的基本性质:,注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读,作 “Nabla”.,4. 若,这些公式读者可利用定义来直接验证.,解,例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点,它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量,的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比.,为引力势.,三、散 度 场,为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:,设,为 的散度. 这是由向量场 派生出来的一个数量,场, 也称散度场, 记作,高斯公式可写成如下向量形式:
4、,法向量,记 , 称为 S 的面积元素向量. 于是,对上式中的三重积分应用中值定理, 使得,这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.,的不可压缩流体, 经过封闭曲面 S 的流量是,散度的物理意义 联系本章2中提到的, 流速为,称这点为 “汇”.,容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:,量的流体流出这一点, 则称这一点 为 “源”.,若在每一点都有 则称 为 “无源场”.,的散度也可表示为矢性算符 与 的数性积:,1. 若 是向量函数, 则,度场.,因此引力场 在每一点处的散度都为零 ( 除原点没,有定义外 ).,为 V 上的一个向量场. 称如下向量函数:,设,场, 也称旋度场, 记作,四、
5、旋 度 场,为 的旋度. 是由向量场 派生出来的一个向量,为便于记忆起见, 可用行列式形式来表示旋度:,类似于用散度表示的高斯公式 (1), 现在可用旋度来,表示斯托克斯公式:,其中 为前述对于曲面 S 的面积元素向量; 而,则是对于曲线 L 的弧长元素向量. 对后者说明如下:,单位切向量, 弧长元素向量即为,把公式 (3) 改写成,对上式中的曲面积分应用中值定理, 使得,这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式.,为了由 (5) 式直观描述旋度的物理意义, 不妨将其中,的曲面块 S 改换为平面区域 D ( 图 22-12 ), 这时 (5),式又被改写为,的环流量, 它表示流速为 的不可压缩
6、流体, 在单位,时间内沿曲线 L 流过的总量. 这样,就反映了流体关于 L 所围面积的平均环流密度. 当,时, (6) 式右边这个极限, 就是流速场 在,点 处按右手法则绕 的环流密度.,另一方面, (6) 式左边的 是,在 上的投影. 由此可见, 当所取的 与,同向时, 该投影为最大.,综合起来就可以说:,这同时指出了旋度的两个基本属性:,(i) 的方向是 在点 处环流密度最大,的方向;,在 上的投影. ”,为了更好地认识旋度的物理意义及这一名称的来源,我们讨论刚体绕定轴旋转的问题. 设一刚体以角速,与旋转方向符合右手法则.,当 时, 称向量场 为 “无旋场” .,若取定旋转轴上一点 O,作
7、为原点(图22-13), 刚体,上任意一点 P 的线速度,于是,旋度有如下一些基本性质:,这结果表明线速度 的旋度除相差一个常数因子外,来源.,1. 若 是向量函数, 则,这些等式可通过梯度、散度、旋度等定义来验证.,五、管量场与有势场,式知道, 此时沿任何封闭,曲面的曲面积分都等于零.,中作一向量管 (图22-14), 即由向量线围成的管状的,若一个向量场 的散度恒,为零, 即 我们曾,称 为无源场. 从高斯公,我们又把 称作管量场. 这是因为, 若在向量场,S. 于是由(1)式得出,这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是,间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于,相同的, 所以把场 称为管量场. 如例2, 由 的梯,若一个向量场 的旋度恒为零, 即 我们在,前面称 为无旋场. 从斯托克斯公式知道, 这时在空,由定理 22.5 推得空间曲线积分与路线无关, 且存在,即,个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 在例1,通常称 u 为势函数. 因此若某向量场 的旋度为零,若一个向量场既是管量场, 又是有势场, 则称这个向,场 是有势场的充要条件.,量场为调和场. 上述例 2 中讲到的引力场 就是调,和场. 若 是一个调和场, 则必有,即必有势函数 u 满足,这时称函数 u 为调和函数.,显然,
