《2019版高考数学文科一轮复习（北京卷b版）课件：4.4 三角函数的最值与综合应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学文科一轮复习（北京卷b版）课件：4.4 三角函数的最值与综合应用 （57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.4 三角函数的最值与综合应用,高考文数 (北京市专用),考点 三角函数的最值 1.(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+ sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间 上的最大值为 ,求m的最小值.,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,解析 (1)f(x)= - cos 2x+ sin 2x =sin + . 所以f(x)的最小正周期为T= =. (2)由(1)知f(x)=sin + . 由题意知- xm. 所以- 2x- 2m- . 要使得f(x)在 上的最大值为 , 即sin 在 上的最大值为1. 所以2m- ,即m . 所以m的
2、最小值为 .,2.(2017北京,16,13分)已知函数f(x)= cos -2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求证:当x 时, f(x)- .,解析 本题考查三角恒等变换,三角函数的性质. (1)f(x)= cos 2x+ sin 2x-sin 2x = sin 2x+ cos 2x=sin . 所以f(x)的最小正周期T= =. (2)证明:因为- x , 所以- 2x+ . 所以sin sin =- . 所以当x 时, f(x)- .,易错警示 正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)- 时容易忽视x的取值范围.,3.(2015北京,15,
3、13分,0.73)已知函数f(x)=sin x-2 sin2 . (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间 上的最小值.,解析 (1)因为f(x)=sin x+ cos x- =2sin - , 所以f(x)的最小正周期为2. (2)因为0x ,所以 x+ . 当x+ =,即x= 时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间 上的最小值为f =- .,4.(2013北京,15,13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 ,且f()= ,求的值.,解析 (1)因为f(x)=(2cos2x-1)si
4、n 2x+ cos 4x =cos 2xsin 2x+ cos 4x = (sin 4x+cos 4x) = sin , 所以f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . (2)解法一:因为f()= ,所以sin =1. 因为 ,所以4+ . 所以4+ = .故= . 解法二:f()= ,sin =1.4+ = +2k,kZ.= + ,kZ.又 , 当k=1,即= 时符合题意.,考点一 三角函数的最值 1.(2018课标全国,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 ( ) A. f(x)的最小正周期为,最大值为3 B. f(x)的最小正周期为,最大值为4 C. f(x)的最小正
5、周期为2,最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2,最大值为4,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 B 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质. f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3 = + ,f(x)的最小正周期T =,当cos 2x=1时, f(x)取最大值,为4.故选B.,解题关键 解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式.,2.(2016课标,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos 的最大值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 B f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 + , 当
6、sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.,3.(2017课标全国,6,5分)函数f(x)= sin +cos 的最大值为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 A f(x)= sin +cos = + cos x+ sin x = sin x+ cos x = 2sin = sin , f(x)的最大值为 .故选A.,一题多解 cos =cos =sin =sin , f(x)= sin ,f(x)max= .故选A.,4.(2017课标全国,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .,答案,解析 本题主要考查三角函数的最值. 由题意可知f(x)=2cos x
7、+sin x= sin(x+)(tan =2), f(x)的最大值为 .,5.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,最小值是 .,答案 ;,解析 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 = (1-cos 2x)+ sin 2x+1 = (sin 2x-cos 2x)+ = sin + , 最小正周期T= =, f(x)min= .,6.(2014大纲全国,14,5分)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为 .,答案,解析 y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x =-2 + ,因为-1sin x1,
8、所以当sin x= 时,ymax= .,答案 1,7.(2014课标,14,5分)函数f(x)=sin(x+)-2sin cos x的最大值为 .,解析 f(x)=sin(x+)-2sin cos x =sin xcos +cos xsin -2sin cos x =sin xcos -cos xsin =sin(x-)1, 所以f(x)max=1.,8.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,解析 (1)因为a=(cos x,sin x),
9、b=(3,- ),ab, 所以- cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0. 于是tan x=- . 又x0,所以x= . (2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,- )=3cos x- sin x=2 cos . 因为x0,所以x+ , 从而-1cos . 于是,当x+ = ,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+ =,即x= 时, f(x)取到最小值-2 .,9.(2015安徽,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(
10、x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= sin +1, 所以函数f(x)的最小正周期T= =. (2)由(1)知, f(x)= sin +1. 当x 时,2x+ , 由正弦函数y=sin x在 上的图象知, 当2x+ = ,即x= 时, f(x)取最大值 +1; 当2x+ = ,即x= 时, f(x)取最小值0. 综上, f(x)在 上的最大值为 +1,最小值为0.,评析 本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.,10.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)= si
11、n 2x- cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象. 当x 时,求g(x)的值域.,解析 (1)f(x)= sin 2x- cos2x = sin 2x- (1+cos 2x) = sin 2x- cos 2x- =sin - , 因此f(x)的最小正周期为,最小值为- . (2)由条件可知:g(x)=sin - . 当x 时,有x- ,从而sin ,那么sin - . 故g(x)在区间 上的值域是 .,考点二 三角函数的综合应用 1.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,
12、若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .,答案 8,解析 sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C) =- = , 又ABC为锐角三角形, tan A= 0,tan B+tan C0,tan Btan C1,tan Atan Btan C= tan Btan C = , 令tan Btan C-1=t,则t0, tan Atan Btan
13、 C= =2 2(2+2)=8,当且仅当t= ,即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8.,2.(2015湖南,15,5分)已知0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个 交点的距离为2 ,则= .,答案,解析 由 消去y,得sin x-cos x=0, 即 sin =0,解得x= + ,kZ. 取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为 , ,又两交点的距离为2 , 所以 +( + )2=(2 )2,解得= .,3.(2018江苏,17,14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆
14、弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上 修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A, B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为. (1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定sin 的取值范围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之 比为43.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.,解析 本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建 模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)设PO的延
15、长线交MN于H,则PHMN,所以OH=10米.过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=, 故OE=40cos 米,EC=40sin 米, 则矩形ABCD的面积为240cos (40sin +10) =800(4sin cos +cos )平方米, CDP的面积为 240cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos )平方米.,过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10米. 令GOK=0,则sin 0= ,0 . 当 时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以sin 的取值范围是 . 答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面积为1 600(cos -sin cos )平 方米,sin 的取值范围是 . (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43, 所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k0). 则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ), . 设f()=sin cos +cos , .,
