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1、河北衡水中学河北衡水中学 2016-20172016-2017 学年度学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分必考部分一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. .1. 已知集合，则集合等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选 D.2. ，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ,则 ,选 A.点睛：本题重点考查复数的基本运
2、算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为 、虚部为 、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前 5 项和等于 （ ）A. B. 41 C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，选 A.4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率 等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选 D.5. 在中， “ ”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条
3、件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，所以必要性成立； 时，所以充分性不成立，选 B.6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A 学|科|网.【解析】由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为 ）：，而 ，所以直线过 C 取最大值 ，过 B点取最小值， 的取值范围是，选 A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行
4、域的端点或边界上取得.7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，周长为 ，选 C.8. 20 世纪 30 年代，德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半；如果 是奇数，则将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出 的值为 8，则输入正整数的所有可能值的个数为（
5、 ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得 ；，因此输入正整数的所有可能值的个数为 4，选 B.9. 的展开式中各项系数的和为 16，则展开式中 项的系数为（ ）A. B. C. 57 D. 33【答案】A【解析】由题意得 ,所以展开式中 项的系数为,选 A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出 值，最后求出其参数.10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数 都成立，则的值为（ ）A
6、. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为 ，因为，所以解得，即，所以 ，满足，选 B.11. 已知向量 满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】因为所以 ；因为，所以学|科|网.的最大值与最小值之和为，选 C.12. 已知偶函数满足，且当时，关于 的不等式在上有且只有 200 个整数解，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以 ，因为关于 的不等式在上有且只有 200 个整数解，所以关于 的不
7、等式在上有且只有 2 个整数解，因为 ，所以 在上单调递增，且，在 上单调递减，且，因此，只需在上有且只有 2 个整数解，因为 ，所以，选 C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销
8、售量及其价格进行调查，5 家商场商品的售价 元和销售量 件之间的一组数据如下表所示：价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知，销售量 与价格 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则_【答案】39.4【解析】 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（） ，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是_【答案】【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以 学|科
9、|网.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为 60，则四面体的体积为_【答案】6【解析】设平面 ABC 与平面 交线为 CE，取 ,则 16. 已知是过抛物线焦点 的直线与抛物线的交点， 是坐标原点，且满足，则的值为_【答案】【解析】因为，所以 因此，所以 因为 ，所以 ，因此 三、解答题三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：解答应写出文
10、字说明、证明过程或演算步骤. . 17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点 ，且，.（1）求边的长；（2）求的值.【答案】 （1）（2）【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为，所以，所以因为，所以，所以，又，所以（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，所以学|科|网.18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合） ，圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，.（1）求证：平面平面；
11、 （2）求二面角的正弦值【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三点共线，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为 10，圆心在内，所以易知，所以因为平面，所以，因为，所以平面又因为平面，所以平面平面（2）如图，以 为原点，、所在的直线
12、为轴，建立空间直角坐标系则所以，设平面的法向理为，所以，令，则可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第 3 个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第 3 个台阶，当有任何一方登上第 3 个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为 （1）求游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率；（2）求 的分布列和数学期望【答案】 （1）（2）学|科|网.【解析】试题分
13、析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为 再分两种情况分别计数：一种是小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率， （2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第 次划拳小华平”为；事件“第 次划拳小华输”为，所
14、以因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率为（2）依题可知 的可能取值为 2、3、4、5，所以 的分布列为：2345所以 的数学期望为：20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点 的动直线与圆相交于两点，过点 作直线的垂线与椭圆 相交于点 （1）求椭圆 的离心率；（2）若，求【答案】 （1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，再根据离心率
15、定义求椭圆 的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线 AB 的斜率,根据垂直关系可得直线 PQ 的斜率,最后联立直线 PQ 与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆 的离心率；（2）依题知圆 的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点 坐标为，所以直线的斜率存在，设为 所以直线的方程为，即，所以，解得或当时，此时直线的方程为，所以的值为点 纵坐标的两倍，即；当时，直线的方程为，将它代入椭圆 的方程，消去 并整理，得，设 点坐标为，所以，解得，所以点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数，其中 为自然对数的底数 （参考数据：）（1）讨论函数的单调性；（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数 a 讨论：当时，是常数函数，没有单调性当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为
