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1、1 第 4 周 根的判别式与韦达定理典型例题典型例题：例例 1 1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。x0122xkx例例 2 2、关于 x 的方程有实数根，则 m 的取值范围是( )0212mmxxmA. B. C. D.10 且mm0m1m1m例例 3 3、已知关于 x 的方程0222kxkx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例例 4 4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.2)6(92mxmxm说明：说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0即：
2、即：若，则二次三项式为完全平方式；反之，若042 acbcbxax2)0( a为完全平方式，则.cbxax2)0( a042 acb例例 5 5、为何值时，方程组m . 3, 6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式是完全平方式。92 kxx2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？kkxx24323、已知方程有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .022 mxmx4、为何值时，方程组5、当取何值时，方程k . 0124, 22yxykxyk（1）有两组相等的实数解，并求此解； 04234422km
3、mxmxx （2）有两组不相等的实数解； 的根与均为有理数？m （3）没有实数解.2 跟踪训练：跟踪训练：一、一、填空题：1、下列方程；中，无实根的方程是 。012x02 xx012 xx02 xx2、已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 。x022 mxxm3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是 kxx2432k 。4、在一元二次方程中，若系数、可在 1、2、3、4、5 中取值，则其中有实数解的方02cbxx)(cb bc 程的个数是 。 二、二、选择题： 1、下列方程中，无实数根的是（ ）A、 B、来源:学科网C、 D、011xx762yy021x
4、0232 xx2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ）x01) 12()2(22xmxmmA、 B、 C、且2 D、且243mm43 43mmm43m3、在方程（0）中，若与异号，则方程（ ）02cbxaxaacA、有两个不 等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根 D、无法确定三、三、试证：关于的方程必有实x1)2(2xmmx根。四、四、已知关于的方程的根的判x022nmmxx 别式为零，方程的一个根为 1，求、的值。mn五、五、已知关于的方程有x02) 12(22mxmx两个不等实根，试判断直线xmy)32(能否通过 A（2，4） ，并说明理由。74 m六、六、已知
5、关于的方程，问：x0)2(222mxmx是否存在实数，使方程的两个实数根的平 方和m 等 于 56？若存在，求出的值；若不存在 ，请m 说明理由。七、七、已知0，关于的方程有两个相等 的正实根，求的值。nx041)2(2mnxnmxnm3一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）专题一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）专题计算对称式的值计算对称式的值例例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：12,x x2220070xx(1) ； (2) ； (3) ；(4) 22 12xx1211 xx12(5)(5)xx12|xx说明：说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，222 1212
6、12()2xxxxx x12121211xx xxx x22 121212()()4xxxxx x，2 121212|()4xxxxx x22 12121212()x xx xx xxx333 12121212()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整体思想 【课堂练习课堂练习】 1设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，则 x12x22的值为_ 2已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两根，则 x1x2 ，x1x2 ， （x1x2）2 3已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k= ;124若方程 x2+(a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a= ; 5若
7、关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为 ;6设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根， 7已知 x1和 x2是方程 2x23x1=0 的两个根，求下列各式的值： 利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1x11x22 22 1x1 x1例例 1 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）07822 xxA. B.3 C.6 D.36 说明说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、babaab之间的运算关系.22ba 例例 2
8、2、解方程组： ;24,10) 1 (xyyx. 2,10)2(22yxyx4例例 3 3、已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根，011222xkxk21,xx（1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例例 4 4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例例 5 5、已知，求 ba 0122 aa0122 bbba变式变式：若，则的值为 。012
9、2 aa0122 bbab ba例例 6 6、已知是方程的两个根，那么 .,012 xx34针对练习：针对练习：1、解方程组2已知，)2(5) 1 (, 322yxyx472 aa472 bb)(ba 求的值。ba ab3、已知是方程的两实数根，求的值。21,xx092 xx663722 23 1xxx5根与系数关系的三大用处根与系数关系的三大用处 （1 1）计算对称式的值）计算对称式的值 （2 2）构造新方程）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例例 解方程组 解：显然，x，y 是方程 z2-5z+60 的两根 65xyyx由方程解得 z1=2,z2=3 原方程组的解为 x1=2,
10、y1=3 或 x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3 3）定性判断字母系数的取值范围）定性判断字母系数的取值范围例例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。一元二次方程根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系练习题 A A 组组1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()2(1)210k xx kABCD2k 2,1kk且2k 2,1kk且2若是方程的两个根，则的值为()12,x x22630xx1211 xxABCD221 29 2 3已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于的方程
11、x的根，则等于()22(21)30xmxmmABCD3553且53 且4若 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关t20 (0)axbxca24bac 2(2)Matb系是() ABCD大小关系不能确定M M M 5若实数，且满足，则代数式的值为( )ab, a b22850,850aabb11 11ba abABCD202220且220且6如果方程的两根相等，则之间的关系是 _ 2()()()0bc xca xab, ,a b c7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 22870xx _ 8若方程的两根之差为 1，则的值是 _ 22(1)30x
12、kxkk9设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= 12,x x20xpxq121,1xxx20xqxpp_ ，= _ q10已知实数满足，则= _ ，= _ ，= _ , ,a b c26,9ab cababc11对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于 10您是否同21036xxx 意他的看法？请您说明理由12若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值0n x21(2 )04xmn xmnm n613已知关于的一元二次方程x2(41)210xmxm (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值12,x x1
13、2111 2xx m14已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长x221(1)104xkxk (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是时，求的值k5kB B 组组1已知关于的方程有两个不相等的实数根x2(1)(23)10kxkxk 12,x x(1) 求的取值范围；k (2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由kk2已知关于的方程的两个实数根的平方和等于 11x230xxm求证：关于的方程有实数根x22(3)640kxkmxmm3若是关于的方程的两个实数根，且都大于 112,x xx22(21)10xkxk 12,x x(1) 求实数的取值范围； (2) 若，求的值k121 2x xk
