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1、第二章 逻辑代数基础l 逻辑代数的基本运算l 逻辑函数及其化简基本运算基本公式和常用公式基本定理逻辑函数的几种表示方法逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数12.1 逻辑代数逻辑：指事物间的因果关系逻辑代数：描述客观事物逻辑关系的数学方法， 是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治 布尔(George Boole)于 1847年提出的，所以又称为 布尔代数 。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。相同点：都用字母 A、 B、 C 表示变量；不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为 “0”和 “1”，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。“0”和 “1”表示两种不
2、同的逻辑状态：是和非、真和假、高电位和低电位、有和无、开和关等等。 2 图 1电路，若将开关合上认为条件具备，将灯亮认为结果发生，则该电路表现了这样一种因果关系 只有 A、 B两个条件都具备时，结果 Y才发生。2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数有三种基本运算：与运算、或运算、非运算（ 1）与运算当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。图图 1 串联开关电路串联开关电路 串联开关电路功能表串联开关电路功能表 开关 A 开关 B 灯 Y断开 断开 灭断开 闭合 灭闭合 断开 灭闭合 闭合 亮3串联开关电路功能表串联开关电路功能表 开关 A 开
3、关 B 灯 Y断开 断开 灭断开 闭合 灭闭合 断开 灭闭合 闭合 亮表表 1-6与逻辑的真值表与逻辑的真值表 A B Y0 0 00 1 01 0 01 1 1A、 B全 1， Y才为 1设定逻辑变量和逻辑函数并状态赋值：逻辑变量： A和 B，对应两个开关的状态： 1闭合， 0断开；逻辑函数： Y，对应灯的状态： 1灯亮， 0灯灭。真值表 : (对逻辑变量和逻辑函数进行状态赋值 )功能表 真值表条件 逻辑变量 , 结果 逻辑函数 , 并对逻辑变量和逻辑函数进行状态赋值4与逻辑符号： 实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图 1-1(b)所示，符号 “ &” 表示与逻辑运算。 图图
4、 1-1(b) 与逻辑的逻辑符号与逻辑的逻辑符号 AB Y逻辑表达式：Y A B AB符号 “ ” 读作 “ 与 ” （或称 “ 逻辑乘 ” ）；在不致引起混淆的前提下， “ ” 常被省略。5 若开关数量增加，则逻辑变量增加。 A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1A、 B、 C全 1，Y才为 1。逻辑表达式 :Y A B C ABC三变量与逻辑真值表逻辑符号 6（ 2） 或运算 当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系 ， 简称或逻辑 。 A B Y0 0
5、00 1 11 0 11 1 1表表 1-7或逻辑的真值表或逻辑的真值表 A、 B有1， Y就为 1。并联开关电路功能表并联开关电路功能表 图图 1-2 (a)并联开关电路并联开关电路 开关 A 开关 B 灯 Y断开 断开 灭断开 闭合 亮闭合 断开 亮闭合 闭合 亮7图图 1-2(b) 或逻辑的逻辑符号或逻辑的逻辑符号 逻辑或表达式：Y A B符号 “ ” 读作 “ 或 ” （或称 “ 逻辑相加 ” ）。实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门的逻辑符号如图 1-2(b)所示，符号 “ 1” 表示或逻辑运算。 题AB Y8（ 3） 非运算 当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情
6、反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。表表 1-8非逻辑的真值表非逻辑的真值表 A与 Y相反开关与灯并联电路功能表开关与灯并联电路功能表 图图 1-3 (a)开关与灯并联电路开关与灯并联电路 开关 A 灯 Y断开 亮闭合 灭A Y0 11 09图图 1-3(b) 非逻辑的逻辑符号非逻辑的逻辑符号 实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门的逻辑符号如图 1-3(b)所示。逻辑符号中用小圆圈 “ o ” 表示非运算。逻辑表达式：Y A符号 “ ”读作 “ 非 ” , 也称 “逻辑求反 ”。A Y102. 复合逻辑运算 在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、
7、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有 与非、或非、与或非、异或 和 同或 等。 （ 1） 与非运算“与 ”和 “非 ”的复合运算称为与非运算 。 逻辑表达式： Y (ABC )A B C Y0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0表表 1-9与非逻辑的真值表与非逻辑的真值表 图 1-4 与非逻辑的逻辑符号 “ 有 0必 1，全 1才 0” 11 （ 2） 或非运算“或 ”和 “非 ”的复合运算称为或非运算。 逻辑表达式： Y (A+B+C)A B C Y0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 0
8、1 0 1 01 1 0 01 1 1 0表表 1-10或非逻辑的真值表或非逻辑的真值表 “ 有 1必 0，全 0才1” 图 1-5 或非逻辑的逻辑符号 12 （ 3） 与 或非运算“与 ”、 “或 ”和 “非 ”的复合运算称为与或非运算。 逻辑表达式： Y (AB+CD)图 1-6 与或非逻辑的逻辑符号 13 （ 4） 异 或运算所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为 0，取值不相同时输出为 1。 表表 1-11异或逻辑的真值表异或逻辑的真值表 “ 相同为 0，相异为1” 图 1-7 异或逻辑的逻辑符号 逻辑表达式： Y = A B = AB + AB式中符号 “”表示异或运算。 A
9、 B Y0 0 00 1 11 0 11 1 014 （ 5） 同 或运算所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为 1，取值不相同时输出为 0。 表表 1-12同或逻辑的真值表同或逻辑的真值表 “ 相同为 1，相异为0” 图 1-8 同或逻辑的逻辑符号 A B Y0 0 10 1 01 0 01 1 1逻辑表达式： Y = A B = AB+ AB = (A B )式中符号 “”表示同或运算。 152.3.1 基本公式 （ 1） 常量之间的关系 0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1
10、0 = 1 1 = 0 请特别注意与普通代数不同之处与 或非2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 16（ 2） 常量与变量之间的关系1. A+1=1讨论：该公式对应的电路如图所示。图中，若在或门的一个输入端加 “1”，则无论另一个输入端变量是 0还是 1，输出端恒为“1”，这说明输入变量 A的变化在输出端得不到响应，即 A不能通过或门 门是关上的 。1. 结论：在或门的输入端加 “1”，可将或门2. 关上，其它的信号就不能通过或门2. A.0=0讨论：该公式对应的电路如图所示。图中，若在与门的一个输入端加 “0”，则无论另一个输入端变量 A是 0还是 1，输出端恒为“0”，这说明输入变量 A的
11、变化在输出端得不到响应，即 A不能通过与门 门是关上的 。结论：在与门的输入端加 “0”，可将与门关上，其它的信号就不能通过与门图 1图 2 173. A+0=A讨论：该公式对应的电路如图 a所示。图中，在或门的一个输入端加 “0”，可将或门打开，其它输入端的信号就能通过或门。4. A.1=A讨论：该公式对应的电路如图 b所示。显然，在与门的一个输入端加 “1”，可将与门打开，其它输入端的信号就能通过与门。综上所述，在或门、与门的一个输入端加控制信号，可控制其他输入端的信号能否通过门，此时，门犹如一个开关。5. A+A=A 6. AA=A 7. A+A=1 8. AA=0 图 a 图 b18交
12、换律 AB = BA A + B = B + A结合律 A（ BC） =（ AB） C A +(B+C)=(A+B)+C分配律 A（ B+C） =AB + AC A+BC=(A+B)(A+C)（ 3）与普通代数相似的定理 （ 4）特殊的定理 De morgen定理反演律 (AB)=A+B(A+B)=A B还 原律 (A)=A19表表 1-16 反演律反演律 (摩根定理摩根定理 )真值表真值表AB A B (AB) A+B 00 1 1 1 101 1 0 1 110 0 1 1 111 0 0 0 0反演律 (AB)=A+B例：通过真值表证明反演律的正确性20表表 1-15 逻辑代数的基本公式
13、逻辑代数的基本公式01律 （ 1） A1=A（ 3） A0=0 （ 2） A+0=A（ 4） A+1=1交 换 律 （ 5） AB=BA （ 6） A+B=B+A结 合律 （ 7） A(BC)=（ AB） C （ 8） A+（ B+C） =（ A+B） +C分配律 （ 9） A(B+C)=AB+AC （ 10） A+BC=(A+B)(A+C)互 补 律 （ 11） AA=0 （ 12） A+A=1重叠律 （ 13） AA=A （ 14） A+A=A反演律 （ 15） (AB) =A+B （ 16）（ A+B） =AB还 原律 （ 17） (A)=A212.3.2 若干常用公式 公式 1： AB
14、+AB=A证明： AB+AB=A（ B+B） =A1=A公式 2： A+AB=A证明： A+AB=A（ 1+B） =A1=AA是 AB的因子A：公因子 B：互补22公式 4： AB+AC+BC=AB+AC证明： AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC推论 : AB+AC+BCDE=AB+AC公式 3： A+AB=A+B证明： A+A B=(A+A)(A+B)=1（ A+B） =A+BA的反函数是因子与互补变量 A相与的B、 C是第三项添加项分配律： A+BC=(A+B)(A+C)23常用公式 AB+AB=A A+AB=A A+AB=A+B AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCDE=AB+AC242.4 逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理推广利用代入定理可以扩大公式的应用范围。(AB)=A+BY=BC(AY)=A+Y(A(BC)=A+(BC)(ABC)=A+B+C(ABC)=A+B+C+(A+B+C+)=ABC理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，
