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1、1题型四 反比例函数与一次函数综合题 针对演练针对演练1. 如图，一次函数 ykx1(k0)与反比例函数 y (m0)的图象m x有公共点 A(1，2)，直线 lx 轴于点 N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点 B，C，连接 AC.(1)求 k 和 m 的值；(2)求点 B 的坐标；(3)求ABC 的面积第 1 题图22. 已知正比例函数 y2x 的图象与反比例函数 y (k0)在第一象k x限内的图象交于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 P，已知OAP 的面积为 1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点 B 的横坐标为 2，且在反比例函数图象上，则在 x 轴
2、上是否存在一点 M，使得 MAMB 最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图33. 如图，反比例函数的图象与一次函数 ykxb 的图象交于2yx点 A、B，点 A、B 的横坐标分别为 1、2，一次函数图象与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数，当 y1 时，写出 x 的取值范围；2yx(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点 P，使得 SODP2SOCA？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图44. (2016 巴中 10 分)已知，如图，一次函数 ykxb(k、b 为常数，k0)的图
3、象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函数 y(n 为常数且 n0)的图象在第二象限交于点 C.CDx 轴，垂足为 D.nx若 OB2OA3OD6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kxb 的解集n x第 4 题图55. 如图，点 A(2，n)，B(1，2)是一次函数 ykxb 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点m x(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围；(3)若 C 是 x 轴上一动点，设 tCBCA，求 t 的最大值，并求出此时点 C 的
4、坐标第 5 题图66. 如图，直线 y1 x1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，与反比14例函数 y2 (x0)的图象交于点 P，过点 P 作 PBx 轴于点 B，且m xACBC.(1)求点 P 的坐标和反比例函数 y2的解析式；(2)请直接写出 y1y2时，x 的取值范围；(3)反比例函数 y2图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由第 6 题图77. 如图，直线 yxb 与 x 轴交于点 C(4，0)，与 y 轴交于点 B，并与双曲线 y (x0)交于点 A(1，n)mx(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接 OA
5、，求OAB 的正弦值；(3)若点 D 在 x 轴的正半轴上，是否存在以点 D、C、B 构成的三角形OAB 相似？若存在求出 D 点的坐标，若不存在，请说明理由第 7 题图88. (2016 金华 8 分)如图，直线 yx与 x，y 轴分别交于点333A，B，与反比例函数 y (k0)图象交于点 C，D，过点 A 作 x 轴k x的垂线交该反比例函数图象于点 E.(1)求点 A 的坐标；(2)若 AEAC.求 k 的值；试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称？并说明理由第 8 题图99. 如图，已知双曲线 y 经过点 D(6，1)，点 C 是双曲线第三象限k x上的动点，过点 C
6、作 CAx 轴，过点 D 作 DBy 轴，垂足分别为A，B，连接 AB，BC.(1)求 k 的值；(2)若BCD 的面积为 12，求直线 CD 的解析式；(3)判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由第 9 题图1010. 如图，点 B 为双曲线 y (x0)上一点，直线 AB 平行于 y 轴，k x交直线 yx 于点 A，交 x 轴于点 D，双曲线 y 与直线 yx 交于k x点 C，若 OB2AB24.(1)求 k 的值；(2)点 B 的横坐标为 4 时，求ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点 P，使APCAOD？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由第 10 题图11【答
7、案答案】1解：(1)点 A(1，2)是一次函数 ykx1 与反比例函数 y的公共点，m xk12，2，k1，m2；1m(2)直线 lx 轴于点 N(3，0)，且与一次函数的图象交于点B，点 B 的横坐标为 3，将 x3 代入 yx1，得 y314，点 B 的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点 A 作 AD直线 l，垂足为点 D，由题意得，点 C 的横坐标为 3，点 C 在反比例函数图象上，y ， C 点坐标为(3， )，2 x2 323BCBNCN4 ，2 310 3又AD312，SABC BCAD 2.1 21 210 310 312第 1 题解图2解：(1)设 A 点的坐标为(x，y)，
8、则 OPx，PAy，OAP 的面积为 1， xy1，1 2xy2，即 k2，反比例函数的解析式为； 2yx(2)存在，如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，交x 轴于点 M，此时 MAMB 最小，点 B 的横坐标为 2，点 B 的纵坐标为 y 1，2 2即点 B 的坐标为（2,1）.又两个函数图象在第一象限交于 A 点，22xx解得 x11，x21(舍去)y2，点 A 的坐标为(1，2)，点 A 关于 x 轴的对称点 A(1，2)，设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 A(1，2)，B(2，1)得，1323,215kbk kbb 解得，直线 AB 的解析式为 y3x5，令
9、 y0，得 x ，5 3直线 y3x5 与 x 轴的交点为( ，0)，5 3即点 M 的坐标为( ，0)5 3第 2 题解图3解：(1)反比例函数 y图象上的点 A、B 的横坐标2 x分别为 1、2，点 A 的坐标为(1，2)，点 B 的坐标为(2，1)，点 A(1，2)、B(2，1)在一次函数 ykxb 的图象上，21,211kbk kbb 解得，一次函数的解析式为 yx1；(2)由图象知，对于反比例函数，当 y1 时，x 的取值2yx范围是2x0；14(3)存在对于 yx1，当 y0 时，x1，当 x0 时，y1，点 D 的坐标为(1，0)，点 C 的坐标为(0，1)，设点 P(m，n)，
10、SODP2SOCA， 1(n)2 11，1 21 2n2，点 P(m，2)在反比例函数图象上，2 ， 2 mm1，点 P 的坐标为(1，2)4解：(1)OB2OA3OD6，OA3，OD2.A(3，0)，B(0，6)，D(2，0)将点 A(3，0)和 B(0，6)代入 ykxb 得，302,66kbk bb 解得，一次函数的解析式为 y2x6. (3 分)将 x2 代入 y2x6，得 y2(2)610，点 C 的坐标为(2，10)将点 C(2，10)代入 y ，得n x1510，解得 n20，2n 反比例函数的解析式为；(5 分)20yx (2)将两个函数解析式组成方程组，得26 ,20yxyx
11、 解得 x12，x25. (7 分)将 x5 代入 204,yx 两函数图象的另一个交点坐标是(5，4)； (8 分)(3)2x0 或 x5. (10 分)【解法提示】不等式 kxb 的解集，即是直线位于双曲线下nx方的部分所对应的自变量 x 的取值范围，也就是2x0 或 x5.5解：(1)点 A(2，n)，B(1，2)是一次函数 ykxb 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点，mxm2，反比例函数解析式为，2yx n1，点 A(2，1)，将点 A(2，1)，B(1，2)代入 ykxb，得211,21kbk kbb 解得，一次函数的解析式为 yx1；16(2)结合图象知：当2x0 或 x1
12、 时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 BA延长交 x 轴于点 C，则点 C 即为所求，A(2，1)，A(2，1)，设直线 AB 的解析式为 ymxn，1 123,25 3mmn mnn 解得，y x ，1 35 3令 y0，得 x5，则 C 点坐标为(5，0)，t 的最大值为 AB.（21）2（12）210第 5 题解图6解：(1)一次函数 y1 x1 的图象与 x 轴交于点 A，与1 4y 轴交于点 C，17A(4，0)，C(0，1)，又ACBC，COAB，O 为 AB 的中点，即 OAOB4，且 BP2OC2，点 P 的坐标为(4，2
13、)，将点 P(4，2)代入 y2 ，得 m8，m x反比例函数的解析式为 y2；8 x(2)x4；【解法提示】由图象可知，当 y1y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量 x 的取值范围是 x4.(3)存在假设存在这样的 D 点，使四边形 BCPD 为菱形，如解图，连接 DC 与 PB 交于点 E，四边形 BCPD 为菱形，CEDE4，CD8，D 点的坐标为(8，1)，将 D(8，1)代入反比例函数，D 点坐标满足函数关系式，8yx即反比例函数图象上存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，此时D 点坐标为(8，1)18第 6 题解图7解：(1)直线 yxb 与 x 轴交于点 C(4
14、，0)，把点 C(4，0)代入 yxb，得 b4，直线的解析式为 yx4，直线也过 A 点，把点 A(1，n)代入 yx4，得 n5，A(1，5)，将 A(1，5)代入 y (x0)，得 m5，m x双曲线的解析式为；5yx(2)如解图，过点 O 作 OMAC 于点 M，点 B 是直线 yx4 与 y 轴的交点，令 x0，得 y4，点 B(0，4)，OCOB4，OCB 是等腰直角三角形，OBCOCB45，在OMB 中，sin45，OM2，OM OB4OM2AO，12522619在AOM 中，sinOAB；OM OA2 2262 1313第 7 题解图(3)存在如解图，过点 A 作 ANy 轴于点 N，则 AN1，BN1，AB，12122OBOC4，BC4，42422又OBCOCB45，OBABCD135，OBABCD 或OBADCB，或，OBBCBA CDOB DCBA BC即或，44 22 CD4 DC24 2CD2 或 CD16，点 C(4，0)，点
