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1、规范练规范练 六六 函数与导数函数与导数1已知函数 f(x)ax2xxln x.(1)若 a0，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(1)2，且在定义域内 f(x)bx22x 恒成立，求实数 b 的取值范围解 (1)当 a0 时，f(x)xxln x，函数定义域为(0，)f(x)ln x，由ln x0，得 x1.当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是减函数(2)由 f(1)2，得 a12，a1，f(x)x2xxln x，由 f(x)bx22x，得(1b)x1ln x.又x0，b1 恒成立1xln xx令 g(x)
2、1 ，可得 g(x)，由 g(x)0，得 x1.1xln xxln xx2g(x)在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，g(x)ming(1)0，b 的取值范围是(，02设 f(x)ex(ax2x1)(1)若 a0，讨论 f(x)的单调性；(2)x1 时，f(x)有极值，证明：当 时，|f(cos )f(sin )|2.0，2(1)解 f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)aex(x )(x2)，1a当 a 时，由 f(x) ex(x2)20，所以 f(x)在 R 上单增递增；1212当 0a 时，由 f(x)0，得 x2 或 x ；121a由 f(x)0，得 x2，1af(x)在和(
3、2，)上单调递增，在上单调递减(，1a)(1a，2)当 a 时，由 f(x)0，得 x 或 x2，121a由 f(x)0，得2x ，1af(x)在(，2)和Error!Error!)上单调递增，在上单调递减(2，1a)(2)证明 x1 时，f(x)有极值，f(1)3e(a1)0，a1，f(x)ex(x2x1)，f(x)ex(x1)(x2)由 f(x)0，得2x1，f(x)在2,1上单增，sin ，cos 0,1，0，2|f(cos )f(sin )|f(1)f(0)e12.3已知函数 f(x)x3ax2bxc 在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数 f(x)在 R 上有三个零点，且
4、 1 是其中一个零点(1)求 b 的值；(2)求 f(2)的取值范围；(3)设 g(x)x1，且 f(x)g(x)的解集为(，1)，求实数 a 的取值范围解 (1)f(x)3x22axb当 x0 时，f(x)取到极小值，即 f(0)0，b0.(2)由(1)知，f(x)x3ax2c，1 是函数 f(x)的一个零点，即 f(1)0，c1a.f(x)3x22ax0 的两个根分别为x10，x2.2a3又f(x)在(0,1)上是增函数，且函数 f(x)在 R 上有三个零点，x21，即 a .2a332f(2)84a(1a)3a7 .52故 f(2)的取值范围为( ，)52(3)法一 由(2)知 f(x)
5、x3ax21a，且 a .321 是函数 f(x)的一个零点，f(1)0，g(x)x1，g(1)0，点(1,0)是函数 f(x)和函数 g(x)的图象的一个交点结合函数 f(x)和函数 g(x)的图象及其增减特征可知，当且仅当函数 f(x)和函数 g(x)的图象只有一个交点(1,0)时， f(x)g(x)的解集为(，1)即方程组Error!Error!只有一解：Error!Error!.由x3ax21ax1，得(x31)a(x21)(x1)0，即(x1)x2(1a)x(2a)0，x1 或 x2(1a)x(2a)0，由方程 x2(1a)x(2a)0，得 (1a)24(2a)a22a7，当 0，即
6、 a22a70，又因为 a ，32解得 a21.322此时方程无实数解，方程组只有一个解Error!Error!所以 a21 时，f(x)g(x)的解集为(，1)322法二 由(2)知 f(x)x3ax21a，且 a .321 是函数 f(x)的一个零点，f(x)(x1)x2(1a)x1a又 f(x)g(x)的解集为(，1)，f(x)g(x)(x1)x2(1a)x2a0 的解集为(，1)x2(1a)x2a0 恒成立(1a)241(2a)0.a22a70，(a1)28.又a ， a21，32322a 的取值范围为.(32，2 21)4已知函数 f(x)axln x，其中 a 为常数(1)当 a1
7、 时，求 f(x)的最大值；(2)若 f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值；(3)当 a1 时，试推断方程|f(x)| 是否有实数解ln xx12解 (1)当 a1 时，f(x)xln x(x0)，f(x)1 ，1x1xx当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，f(x)maxf(1)1，(2)f(x)a ，x(0，e， .1x1x1e，)若 a ，则 f(x)0，f(x)在(0，e上是增函数，1ef(x)maxf(e)ae10 不合题意若 a ，则由 f(x)0a 0，1e1x即 0x .1a由 f(x)0 得
8、a 0，即 xe.从而 f(x)在上是增函数，在1x1a(0，1a)上是减函数，(1a，e)f(x)maxf1ln(1a)(1a)令1ln3，则 ln2， e2，即 ae2.(1a)(1a)1ae2 ，1eae2为所求(3)由(1)知当 a1 时，f(x)maxf(1)1，|f(x)|1又令 g(x) ，g(x).ln xx121ln xx2令 g(x)0，得 xe.当 0xe 时，g(x)0，g(x)在(0，e)上单调递增，当 xe 时，g(x)0，g(x)在(e，)上单调递减，g(x)maxg(e) 1，1e12g(x)1，|f(x)|g(x)，即|f(x)| ，ln xx12方程|f(x
9、)| 没有实数解ln xx1221（本题满分 14 分）已知函数，)(ln)(Raxaxxf（1）若求曲线在处的切线的斜率；, 1a)(xfy 21x（2）求的单调区间；)(xf（3）设若存在对于任意使 求 的, 22)(xxg), 0(1x,1 , 02x),()(21xgxfa范围。解：xax xaxfxRaxaxxf 11)( ), 0()(ln)( (I) 121)21( , 1fka为增函数在当), 0()(, 0)( , 0)(xfxfaII,10)( ,100)( 0axxfaxxfa ，令当综上：的单调增区间为)(, 0xfa ), 0( 的单调增区间为减区间为)(0xfa，）
10、，（a10 ），（a1一定符合题意，时，知，当）由（0)(aIIIII当的单调增区间为减区间为)(0xfa，），（a10 ），（a1)1ln(1)1()(maxaafxf由题意知，只需满足010)1ln(10) 1 ()()(maxmaxaeagxgxf综上：ea121已知函数 f（x）=xlnx，g（x）=2x3（1）证明：f（x）g（x） ；（2）证明：（1+12） （1+23）（1+20142015）e220143考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）构造函数 F（x）=f（x）g（x） ，利用导数求出函数的最小值为 3e，问题得证（2）由题意得得，令 x=1+
11、n（n+1） ，利用放缩法加以证明解答：证明：（1）令 F（x）=f（x）g（x）=xlnx2x+3， （x0）F（x）=lnx+12=lnx1，令 F（x）=0，解得 x=e，x（0，e） ，F（x）0， x（e，+） ，F（x）0，当 x=e 时函数 F（x）有最小值，即为 F（e）=elne2e+3=3e0，故 f（x）g（x） （2）由（1）xlnx2x3，得，令 x=1+n（n+1） ，故，=即 ln220143则（1+12） （1+23）（1+20142015）e220143成立 故问题得以证明 点评：本题主要考查了导数以函数的最值的关系，以及利用放缩法证明不等式成立的问题， 属于
12、中档题22已知函数 f（x）=（xe） （lnx1） （e 为自然对数的底数） （）求曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程；（）若 m 是 f（x）的一个极值点，且点 A（x1，f（x1） ） ，B（x2，f（x2） ）满足条件：（1lnx1） （1lnx2）=1求 m 的值； 若点 P（m，f（m） ） ，判断 A，B，P 三点是否可以构成直角三角形？请说明理由 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的综合应用 分析：（）求出导数和切线的斜率，及切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程； （）求出导数，讨论当 0xe 时，当 xe 时，导数的符号
13、，即可判断极值点，求出 P 点；讨论若 x1=e，若 x1=x2，与条件不符，从而得 x1x2计算向量 PA，PB 的数量积，即可 判断 PAPB解答：解：（），f（1）=e，又 f（1）=e1，曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程为 y（e1）=e（x1） ，即 ex+y2e+1=0 （）对于，定义域为（0，+） 当 0xe 时，lnx1，；当 x=e 时，f（x）=11=0；当 xe 时，lnx1，f（x）存在唯一的极值点 e，m=e，则点 P 为（e，0）若 x1=e，则（1lnx1） （1lnx2）=0，与条件（1lnx1） （1lnx2）=1 不符，从而得 x1e同理可得 x2e若 x1=x2，则，与条件（1lnx1） （1lnx2）=1 不符，从而得 x1x2由上可得点 A，B，P 两两不重合=（x1e） （x2e）+（x1e） （x2e） （lnx11） （lnx21）=（x1e） （x2e） （lnx1lnx2lnx1x2+2）=0从而 PAPB，点 A，B，P 可构成直角三角形 点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求极值，考查运用向量的数量积为 0，证明 线段垂直的方法，属于中档题2.(2015长春模拟)已知函数 f(x)=1-,g(x)=x-lnx.(1)证明:g(x)1.(2)证明:(x-lnx)f(x)1- .【证明】(1)g(x)=,
