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1、祖暅原理 与柱体、椎体、球体的体积,gng,1 刘徽刘徽首先证明了九章算术中的球体积公式是不正确的，并在九章算术“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖”，并指出：一旦算出牟合方盖的体积，球体积公式也就唾手可得。在一立方体内作两个互相垂直的内切圆柱。这两个圆柱体相交的部分，就是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切。如果用同一个水平面去截它们，就得到一个圆（球的截面），和它的外切正方形（牟合方盖的截面）。,中国数学史,刘徽虽然没有推证出球体积公式， 但他所创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父
2、子在球体积问题上取得突破的先导。,牟合方盖,祖冲之（公元429-500）,刘徽（生于公元250左右）,中国数学史,祖冲之（公元429-500，如图）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之在公元462年创制了一部历法大明历，这在当时是最先进的历法.,也就是说，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：,“祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间”。,祖冲之关于圆周率的贡献记载在隋书中，隋书律历志说：,公
3、元五世纪末,祖暅原理：,大约公元五世纪，我国古代数学家祖暅在实践的基础上，总结出一个重要的体积计算原理：,夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。,解释,棱柱、圆柱的截面有什么性质？,一、棱柱、圆柱的体积,设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么它们的体积相等，但等于多少呢？为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等,平行于底面的截面与底面相等,二、棱锥、圆锥的体积,一、棱柱、圆柱的体积,图1 用祖暅原理证明球体积公式,三、球的体积,我们回忆一下祖暅原
4、理（请一位学生叙述原理的内容），求球的体积关键是找一个满足原理又可计算体积的几何体这个几何体的形状应是怎样的？先观察与半径为R的半球底面平行，且与底面距离为l的截面面积S=R2-l2而R2-l2可能作一圆环面积，其中圆环的大圆半径为R对任意截面不变，故底面半径为R的圆柱满足；小圆半径要等于l，轴截面为等腰直角三角形的倒圆锥具有这性质，这就启发我们用祖暅原理可以这样推导：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面上（图2-59），因为圆柱的高等于R，所以这个几何体和半球都夹在两个平行平面之间,师：我国古代数学
5、家祖暅，早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结出这个公理，并首先用这个公理证明了球的体积公式，因而我们把公理6也叫做祖暅原理祖暅比外国人早十二世纪提出这个事实在古代我国数学家对世界数学发展的贡献也是很大的 （三）棱柱、圆柱的体积 师：下面我们用以上两个公理来求棱柱和圆柱的体积 师问：棱柱、圆柱的截面有什么性质？ 生：平行于底面的截面与底面相等师：设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么它们的体积相等，但等于多少呢？为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等由公理5的推论1和V长方体=Sh，于是得到下面的定理：,牟合方盖,开立圆术的分解,
6、公理6 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等下图表示，夹在平行平面、之间的两个形状不同的几何体，被平行于平面、的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积总相等，那么它们的体积一定相等,师：公理6的条件有三个：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之间；（2）两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截；（3）两个截面的面积总相等三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积相等,谢 谢 ！,祖暅,祖暅，又名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动期大约在504 526年。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献。祖暅主要是修补编辑了祖冲之的缀术。他十分巧妙的推导了球的体积公式。祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异”，“幂”即面积，“势”即高。意思是：两个等高的几何体，如果与底面等距离的截面面积总相等。那么这两个几何体的体积相等。西方把这个原理叫做“卡发雷利原理”，是在他于1635年所出版的连续不可分几何中所提出的。,返 回,
