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1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 选修2-1,圆锥曲线与方程,第二章,2.1 曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、 由方程研究曲线的性质,第二章,1.方程表示的曲线的判断步骤是怎样的？ 2判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程F(x，y)0就是曲线的方程( ) (2)如果F(x，y)0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程( ) (3)x2y21(x0)表示的曲线是单位圆,答案：1.(1)恒等变形：将所给方程进行恒等变形； (2)转化方程：将恒等变形的形式转化为我们熟悉的曲线方程，如直线、圆等；
2、(3)限制条件：注意限制条件，去掉不符合的点作出最后的判断 2(1) (2) (3),一、已知曲线求方程 1求轨迹方程的一般步骤 (1)建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标 (2)列式：写出适合条件P的点M的集合PM|P(M) (3)代换：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)0. (4)化简：化方程f(x，y)0为最简形式 (5)证明：说明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上 可简记为：建系、列式、代换、化简、证明,注意：(1)求曲线方程以前，必须确定问题中的坐标系是否建立，若未建立，应先建系建系是求曲线方程基础的一步，要根据几何关系适当建系，目的是
3、简化求解过程且使曲线方程的形式简单 (2)根据题目中的几何关系列出曲线上的点满足的坐标关系是关键一步，在这里常用到一些公式，如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式等，在化简过程中要保持等价变换，最后化为最简的方程形式,(3)求曲线方程时步骤中的(2)、(5)两步一般可以省略，但应注意某些点的坐标是否适合方程，即要把多余的点剔除，将遗漏的点补上 (4)求轨迹需要说明曲线类型，求轨迹方程则不必说明曲线类型,2建立坐标系的基本原则 (1)让尽量多的点落在坐标轴上 (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对
4、称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形可利用对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等 注意：坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，若坐标系选取不当，则会增加运算的繁杂程度,已知平面上两定点A，B之间的距离为2a(a0)，点M到A，B两点的距离之比为21，求动点M的轨迹 解析 如图，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立坐标系,二、由方程研究曲线的性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质，主要包括以下几个方面： (1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是曲哪些基本的曲线组成的在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范
5、围 (2)研究曲线与坐标轴是否相交如果相交，那么求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点,(3)研究曲线的对称性，在曲线方程里，如果以y代y方程不变，那么曲线关于x轴对称；如果以x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称；如果同时以x代x，以y代y方程不变，那么曲线关于原点对称 (4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况,(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线 因此可以说解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科，即解析几何的基本思想和方法是：数形结合图形问
6、题代数化，通过代数计算，得到代数结论，然后代数结论几何化，得到几何结论,三、常见的求轨迹方程的几种方法 1直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(x，y)间的关系式的数学语言，从而得到轨迹方程这种求轨迹方程的方法称为直接法直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质,2定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征 3代入法(相
7、关点法) 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法),4参数法 如果所求轨迹上的动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法参数法中常选变角、变斜率等为参数,(1)已知动点P在曲线2x2y0上移动，则点A(0，1)与点P连线中点的轨迹方程是( ) Ay2x2 By8x2 C2y8x21 D2y8x2
8、1 答案 C 解析 设AP的中点为(x，y)，则P(2x,2y1)在2x2y0上，即2(2x)2(2y1)0，整理，得2y8x21.,(2)平面内与定点(1,2)和直线3x4y50的距离相等的点的轨迹是_ 答案 直线 解析 (1,2)在直线3x4y50上，轨迹是过定点(1,2)且垂直于3x4y50的直线,讨论方程x2yy2x0所表示的曲线的性质，并描绘其曲线 思路分析 该曲线x，y关系不明确，故首先要考虑等价变形，变形之后再从范围对称性等方面研究即可,根据方程研究曲线的性质,(5)作图：通过列表描点作出函数在x0时的图象，再利用关于原点的对称性可画出它的全部图象，如图所示方法总结 判断方程表示
9、什么曲线，就要把方程进行等价变形，一般变形的方法有：配方法、因式分解法、分离变量法，或化为我们所熟悉的形式然后根据方程、不等式的有关性质进行判断,试分析下列方程对应的曲线的性质 (1)x26xy28y0；(2)x210. 解析 (1)由方程x2y26x8y0得： (x3)2(y4)225. 故该方程表示以(3，4)为圆心，5为半径的圆 x范围为2x8，y范围为9y1， 关于圆心(3，4)成中心对称 (2)由x210得：x21， x1表示两条直线x1或x1，这两条直线平行，且关于y轴、原点对称.,直接法求曲线方程,方法总结 “轨迹方程”与“轨迹”的辨析,已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍
10、，求点M的轨迹方程 解析 设动点M的坐标为(x，y)，则点M到x轴、y轴的距离分别为|y|，|x|.由题意知 |y|2|x|，整理得y2x. 所以点M的轨迹方程为y2x.,用代入法或参数法求曲线方程,已知ABC中，A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程 思路分析 重心坐标可直接设为(x，y)，重心的变化是由顶点C的变化引起的，故只需找到两者之间的关系即可,即：x13x2， y13y2. 又 (x1，y1)在曲线y3x21上，即有y13x1. 代入x1，y1，得：3y23(3x2)21. 化简得：y9x212x3即为所求轨迹方程 方法总结 当已知某
11、个动点在已知曲线上移动，而引起另一个动点的变化时，在求另一个动点满足的轨迹方程时，常用代入法,设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程,用直接法或定义法求曲线方程,设圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程 思路分析 设P(x，y)为弦的中点，可用直接法列出关于x，y的方程，也可根据圆的性质判断出P点的轨迹，利用定义法求解,方法总结 (1)适用定义法求轨迹的特点 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义写出轨迹方程 (2)定义法求轨迹方程的策略 要熟悉各种常见的曲线的定义 要善于利用数形结合的方法，利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系 根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程,(1)由动点P向圆x2y21引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，APB60，则动点P的轨迹方程为_ (2)在RtABC中，|AB|2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程,参数法求轨迹方程,ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高是b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程 解析 如图以BC所在定直线x轴，以过点A与x轴垂直的直线为y轴建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)设ABC的外心为M(x，y)，作MNBC于点N，则MN是BC的垂直平分线,
