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1、微分方程稳定性理论,1.一阶方程的平衡点及稳定性,自治方程：方程右端不显含自变量。例,平衡点：方程右端函数 的实根 ，或称为奇点，它也是自治方程的解。,若存在某邻域，使得自治方程的解x（t）从这个邻域内的某x(0)出发满足 则称平衡点 是稳定的；否则称为不稳定的。,稳定点的判断方法：直接法和间接法。 间接法：定义,例7 本章第2节中的Logistic模型,共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。,当NoK时，则位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=
2、0和N=K有着极大的区别。,图3-17,定义1 自治系统 的相空间是指以（x1,xn）为坐标 的空间Rn。,特别，当n=2时，称相空间为相平面。,空间Rn的点集(x1,xn)|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,n称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。,直接法：考虑近似线性方程,则 也是上述方程的平衡点。且关于稳定性有如下结论：,若 , 则 对于方程（1）和（4）都是稳定的。,若 , 则 对于方程（1）和（4）都是不稳定的。,Note: 方程（4）的解为,2.二阶方程的平衡点和稳定性,考虑,方程组,的解： 为自治方程（6）的平衡点，记作： 。,稳定性定义同一阶方程。下先用直接
3、法讨论线性方程组：,记系数矩阵为,方程（9）的惟一平衡点为 ,假定A的行列式不为零，则,的稳定性由（9）的特征方程 的特征根决定，进一步可将特征方程写为：,将特征根记为 则,于是方程（9）的解为,结论：1. 不可能为零。 2.当 为负数或有负实部时 稳定。 3.当 有一个为正数或有正实部时 不稳定。,由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性,判断准则： 1.若 则平衡点稳定；若 则平衡点不稳定。,对于一般的方程（6），将f,g在 处作Taylor展开，得近似方程：,系数矩阵为,特征方程系数为,的稳定性由上表或准则给出。,结论：若方程（17）的特征根不为零或者实部不为零，则方程（6）的稳定性与方程（17）的稳定型相同，由准则判定。,Note: 1.平衡点及稳定性的概念只对自治方程有意义。 2. 在非临界状态下（a,p,q非零），线性方程与非线性方程的稳定性一致，在临界状态下不一定。 3.以上讨论的为局部稳定性（在某邻域内），在线性方程中，局部与全局稳定性等价，非线性方程不等价。,
