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1、2.3.2抛物线的简单几何性质（2）,高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,一、直线与抛物线位置关系种类,1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）,与双曲线的情况一样,x,y,O,二、判断方法探讨,1、直线与抛物线相离，无交点。,例：判断直线 y = x +2与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。,x,y,O,2
2、、直线与抛物线相切，交与一点。,例：判断直线 y = x +1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。,二、判断方法探讨,3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。,例：判断直线 y = 6与抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标,二、判断方法探讨,x,y,O,例：判断直线 y = x -1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。,4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。,二、判断方法探讨,判断直线与抛物线位置关系的操作程序(一）：,把直线方程代入抛物线方程,
3、得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,总结：,判断直线是否与抛物线的对称轴平行,不平行,直线与抛物线相交(一个交点),平行,判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）,计 算 判 别 式,数形结合,几何画板演示,作图直觉,2答案,2、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线:4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.,2、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线:4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.,例3、已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。 （1） 是否为定值？ 呢？（2） 是否为定值？,这一结论非常奇妙, 变
4、中有不变,动中有不动.,三.抛物线的最值与定值问题,丛书62页12题,这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.,A(x1,y1),(1)|AB|x1+x2+p,(2)x1x2= ,y1y2= - p2,(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切,总结：焦点弦问题,例4、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.,说明：中点弦问题的解决方法： 联立直线方程与曲线方程求解 点差法,中点弦问题：,例5、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程.,解：,丛书65页第10题,丛书66页12题,变式:,如图，
5、已知AOB的一个顶点为抛物线 的顶点，A，B都在抛物线上，且AOB=90。,（1）证明直线必过一定点；,（）求面积的最小值。,参照丛书65页11题（2）,解：(1)设A（x1,y1），B（x2,y2），, OAOB kOAkOB=-1, x1x2+y1y2=0, y12=2px1，y22=2px2, y10，y20, y1y2=-4p2, x1x2=4p2,题型三：抛物线的定值问题,点差法,6、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点， 求证：OAOB.,证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OAOB,变式1: 若直线l过定点(2p
6、,0)且与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,变式2： 若直线l与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点， 且OAOB ，则_ _.,直线l过定点(2p,0),设AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦。 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0), 过A,B,M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则,总结：焦点弦问题,A(x1,y1),(1)|AB|x1+x2+p,(2)x1x2= ,y1y2= - p2,(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切,高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与 y2 = 2px（p0）交于相异两点A、B
7、， 以线段AB为直径作圆C(C为圆心）， 试证明抛物线顶点在圆C上。,谢谢大家，再见！,焦点F(0,1/4a),准线y=-1/4a,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 直线PQ:x=ky+k/4a 由抛物线第二定义, p=PF=y1+1/4a, q=PF2=y2+1/4a 联立y=ax2,x=ky+k/4a, 得16a2k2y2+(8ak2-16a)y+k2=0 y1+y2=(16a-8ak2)/16a2k2=(2-k2)/2ak2, y1y2=k2/16a2k2=1/16a2 1/p+1/q=1/(y1+1/4a)+1/(y2+1/4a)=(y1+y2)+1/2a/y1y2+(y1+y2)/4a+1/16a2 =(2-k2)/2ak2+1/2a/1/16a2+(2-k2)/2ak2/4a+1/16a2(同乘8a2k2) =4a(2-k2)+4ak2/k2+2-k2=8a/2=4a,练习: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。,F,A,B,M,解法1：,利用弦长公式解题,题型二：抛物线的最值问题,练习： 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。,解法二：,F,A,B,M,利用定义解题,题型二：抛物线的最值问题,例2.,题型二：抛物线的最值问题,
