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1、2010/06/09$19.2有势场和势函数定义1设7二史为一区域在F上定义了一个向量场厅=(P,Q,R).如果存在V上的一个数量场p(xr,y,z),使得gradp=下=(P,Q,R在上恒成立,则称向量场万是有势场,数量场p称为向量场厂的-一个势函数.gradp=厅=(P,Q,R)定义2设瓦是定义在区域R上的一个向量场,如果对含于中的任一条封闭曲线厂都有f压.45=0则称一是y上的一个保守场定义3设儿是定义在区域PcR3上的一个向量场,如果rofF=x不=在7上恒成立,则称二是V上的一个无旋场._定理1设瓦是定义在区域FCR3上的一个向量场,则如下三个论断等价:(D上=(P,Q,R)是有势场
2、;(2)上=(P,Q,卯是无旋场;(3)尽(P,O.门是保宏场.分析:D二(2)二(3)二(D.gradp=F=(P,Q,Rrotf=f历.48-0|构造g求偏导_斯托克斯公式|证:0二)由D知,存在函数p使得2=P,8=Q,e8-R.uCr一6于是有:二一乃坂=亘卓真=百Br1116r02888r6“区故下=(P,R)是无旋场.|(丿(3)设下=(P,0,)是无旋场,在中任取一条封闭曲线,并在内做一个以乙为边界的曲面S$,则由斯托克斯公式可知:伟-roF.d-a=明故F=俚岖黜浈三俱官场G)二D设厂=(P,Q,R是保守场瓦45=0.根据第18章的积分与路径无关性定理,知_在V内存在p(x,y
3、,z),使dp=PUr+Qdy+Rdz,满足08=P,38-0,08-即存在碉俩足伽_已锹_廷庞_兄注:求势函数的方法(D第18章定理中的方法选择特殊路彼D)ymg501人纪|(z)根据屋玉_，ayg，az_卒3解出一个g(含有待定的一个二元皙),然后逐个代入剩下的两个方程,解出.例1求历=(l_一，垄心八必)的势函数.解:先验证是有势场二一正mF=亘互亘=6匹印区尸日“吴|由28=1_士+卫,得A孔忠1J(x,z)二X(L一王十置)十矽】(y，Z)，白2所以p,(y,z)=C,18似扔兆Z)=考伟一北卜鬓)了2也可以按照一般的方法求解,注意起点的选取._例z证明向量场历=(yz(2x+Z),Xz(X十2十Z),Xy(X十卫十2Z)是有势场,并求其势函数.解:先验证是有势场rotF=180ry2z2(2X十十Z)XZ(K十2十Z)_Xy(X十了+22)故儿是有势场.尸刃-止
