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1、第一讲 整体思维（集零为整法）,一、概念分析,把大小不一、乱七八糟的小东西搬走是件麻烦的事，要是把它们集中在一个箱子再运走就省事得多。这种用集装箱运货物的方法叫整体思维（集装箱法）。数学解题时，有时按常规方法求解比较麻烦，若将问题看作一个整体，往往出奇制胜。,二、生活实例,三、解题方法,把“谁”看作整体,四、例题讲解,旅行的行李、生活中的购物（银行：零存整取）,1,例1 把20以内的质数填入（每个质数只用一次），使A是整数，A最大是多少？,思路分析:若把8个质数轮流放在分母上，其余7个填到分子口中，逐一计算，再比较，那就麻烦了。,优化解法（整体思考）：式中的分子是7个质数之和，20以内的质数有
2、8个，先从整体上考虑这8个质数之和：2+3+5+7+11+13+17+19=77，再考虑分母与质数之和（77）有什么关系？,解：设分母的质数为x，则A=（77-X）/X=77/X-1 要使A是整数，X只能是77的质约数，故X只能是7或11；要使X最大，X应取7，这时A的最大值是10。,2,1、利用整体思维，简化运算过程,例2、有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购甲4件，乙10件、丙1件共需4.20元，问甲、乙、丙各1件共需几元？,思路分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别X,Y,Z元，依题意得要求的是X+Y+Z=? （3）,解题困境：已知条件是三元一次不定方程组，
3、若想分别求出X,Y,Z，再代入（3），不易办得到。,优化解法：若把X+Y+Z视为一个整体，问题就容易解决，为此将方程组变形为 解之得 X+Y+Z=1.05,点评：把一个较复杂的式子当作一个整体，根据其本身结构特征整体处理就能开拓思路，迅速解答。,3,2、利用整体思维，发现解题方法,例3、甲乙两人相距10千米，两人同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米；甲带一只狗，同甲一起出发，每小时走10千米，碰到乙时它往甲方向走，碰到甲时又往乙方向走，如此连续往返，直到两者相遇，这只狗一共走了多少千米？,思路分析：若把小狗走的各段路程加起来，这样显得太麻烦，甚至无法计算。,优化解法：若从整体
4、来看，求出发时起，直到甲乙相遇为止，小狗以每小时10千米的速度跑了10/(6+4)=1（小时），因此小狗共走101=10千米的路（时间不变，甲乙两人相遇所用的时间）,点评：整体思维可避繁就简，化难为易，甚至可以使一些看似无法求解的问题“绝处逢生”。,4,3、利用整体思维，探索解题捷径,例4、有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时，所得新的六位数是原数的4倍，那么这个六位数是多少？,若从整体思维方法思考可得如下多种解法：,5,尝试练习：,方法二： 设这个六位数为x ,依题意得： 4x=600000+（x6）/10 解得x=153846,方法三： 设这个六位数乘以4后变成新的六位
5、数为x 则原六位数为（x-600000）10+6 依题意得（x-600000）10+6=x/4 ,x=615384 , 故原六位数为（x-600000）10+6=153846,点评：利用整体思维，达到简化运算的目的。具体操作时，如字母较多，就可以考虑这种方法。,6,三、课堂练习1、大于 15 而小于11的分数中，分母为6的最简分数，一共有多少个？ （提示： 共21个）2、任意调换五位数12345的各位数字的位置，所得5位数中质数的个数是（D）。 A. 4 ； B. 8; C. 12; D. 0 （注：各数字之和能被3整除）,7,四、课外作业 1、甲，乙两人骑自行车同时从东西两地出发，相向而行，
6、经过8分钟相遇，如果甲每分钟少行180米，而乙每分钟多行230米，经过7分钟就能相遇，东西两地相距多少米？,2、 有8 个盒子，各盒内装的奶糖分别为9,17,24,28,30,31，33和44 块，甲先取走了一盒，其余各盒被乙丙丁三人分了，已知乙丙取到糖的块数相同且各为丁的2倍，问甲取走的一盒中有多少块奶糖？,3、设有四个数，其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求这四个数？,下页有提示,8,方法二：方程法（距离看作“x”）,2、总和216块，若把丁的糖数为“1”份，则乙丙各为“2”份，所以“乙+丙+丁”的和应是“5”的倍数；另外“5”的倍数的特点尾数是“0”或“5”，推得甲取“31”
7、块）,3、把“四个数的和”看作整体，设为x，则这四个数分别为 ，则有 解得 ，所以四数依次为3、6、8、11）,9,1、方法一：算术法（距离看作“1”）,第二讲 割补思维（化整为零）,一、概念分析,有些数学问题从整体处理较为复杂，例如：吃面包、鸡腿等（不可能一口吃一个），但可以把问题分解为若干个简单问题，逐一解决，则原问题得到解决，这一方法叫做化整为零（吃面包法）的思维方法，亦称割补思维（与上节课刚相反）,二、生活实例,同学矛盾（大化小，小化无）；集体活动（男女搭配） ；（银行：整存零取）,三、解题方法,分解（割）、组合（补）,四、例题讲解,1,例1、100个和尚分100个饼，大和尚1人分3个
8、，小和尚3人分1 个，正好分完，问大、小和尚各有多少？,思路分析：一般解法用简易方程求解。,解：把“1个大和尚”和“3个小和尚”分为一组，每组4个和尚吃4个饼，100个和尚可以分成几组？可以得出：,点评：用这种思维方法解题，要注意检验答案是否正确，还应注意不是随意分组都得到正确的答案。,2,优化解法：用“分解组合”，特别简单。,100（1+3）=25（组） 425=100 （个） （符合要求） 大和尚125=25（个），小和尚325=75（个）,若把“2个大和尚”和“ 3个 小和尚”分为一组，每组五个和尚吃7个饼，一百个和尚可分为20组，吃140个饼，与实际只有100个饼发生矛盾。,例2、计算
9、,思路分析：此题直接计算很麻烦。通过观察：发现从第三个分数3/1992开始，往后数到10/1992，这八个分数计算结果刚好为0；,3,若从11/1992再往后数八个数，其计算结果也是0，那么从3/1992开始到1986/1992止，中间1984个分数，每八个分数为一组，正好248组，因这248组每组计算结果都是0,方法一：原式=,方法二：从1/1992起每八个一组分解组合也可以但是麻烦。,4,例3、有一列数：1，1992，1991，1，1990，1989，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数的差，那么第1992个数是多少？（1993年竞赛题）,思路分析：这道题数量关系十分复杂，而题目给的条件
10、不够“充分”。若用一般的方法去解答，看起来是十分困难的，我们用分组的方法进行处理。,解：将此列数每三个分为一组，写出前四组，如： 1，1992，1991 1，1990，1989（第3个数） （第 6个数） 1，1988，1987 1，1986，1985（第9个数） （第12个数）,从以上列出的部分数中，可以看出(以下特点)：,5,1、第3个数，第6个数，第9个数，都是奇数，而3，6，9 又都是3的倍数；,2、1992是3的倍数，第1992个数一定是奇数；,3、每3个数为一组，第1992个数一定在1992/3=664（组）中，同样是这组的最后一个数；,4、每组中最后一个数，都比前一组最后一个数少
11、2，那么664组中最后一个数即第1992个数就比第一组（相差663组）最后一个1991少：2（1992/3-1）=1326 第1992个数是：1991-1326=665,点评：此题是培养分组能力的题。能力和技能的提高与掌握都是靠大量的基础训练为基础的，而且在基础训练中还需细心体会，认真揣摩、努力探索顽强进取才有会有良好的收获，既非一朝一夕之功，也非高不可攀之事。（技能比能力更重要）,6,三课堂练习（主要体现割补的思想） 已知一个四边形的两条边的长度和三个角（如图），求这个四边形的面积？（20）,7,方法一：,方法二：,简单,行吗？,课外作业 1、一个正方形面积为18.75cm2,，在正方形内有
12、两条平行于对角线的线段把正方形的面积三等分，求这两条平行线的长（如图）,2、 图2中，AOD的面积是10cm2，DO的长是OB的2倍，求梯形ABCD的面积？,提示：化整为零，运用等底等高的两三角形面积相等 10+5+10+20=45,提示：以三角形的底边为正方形的边长向外作一个新的正方形） S阴=18.753=6.25 S新正方形=6.254=25 新正方形的边长为5.,8,课外练习,求阴影部分面积,求两阴影正方形方面积比,18平方厘米,8:9,9,三讲 分类思维,要数一堆杂乱的人民币，先将10元，5元，分别整理成一叠，然后分别数，各叠的钱加起来，这种思维方法叫分类（类分）思维（分猪肉法）。
13、(把一复杂问题分成若干类，从而使原问题获得解决),一、概念分析,二、生活实例,分层教学（上，中，下）;评奖学金（一，二，三等）猪肉档口（肥肉，中肉，瘦肉，下水，骨头）,三、解题方法(关键),“分”的标准,四、例题讲解,1,例1、图中有多少个正方形?,思路分析：直接去数，要做到不重又不漏，是比较困难的，只能分类数。,优化方法：以基本线段（基本线段：除两端点外，再没有其他端点的线段）为边长。,点评：正确的分类应符合两条原则：1.分类应按同一标准。2.分类应当不重复，不遗漏。,2,练习：右图中有多少三角形？,方法：,1、1+2+3+4=10（一条基本线段为边长）,2、 1+2+3=6 （两条基本线段
14、为边长）,3、1+2=3 （三条基本线段为边长）,所以共有27个,3,一、尖朝上的三角形共20个,、 （四条基本线段为边长）,类,4,点评：采用此法的一般步骤是：,5,1、求零点。,分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点。,2、分段。,根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区间，使在各区间内，每个绝对值符号内的部分的正负能够确定。,3、考察,在各区间分别考察问题。,4、得答案,将各区间内的情况综合起来，得到问题的答案。,例3.计算1到100这100个数中，每个数各数位上的数 字的和是多少？,思路分析：若一个一个相加很麻烦，可把100个数分成十一部分来分析，逐个考虑，问题就容易解决。
15、,方法一：从1到100可分为1到9，10到19，20到29， ，90到99，100共十一部分来分析。,6,1到9， 各数字之和： 1+2+3+4+59=45,10到19各数字之和：110+（1+2+ +9）=110+45,20到29各数字之和： 210+（1+2+ +9）=210+45,90到99各数字之和： 910+（1+2+ +9）=910+45,100，各数字之和：为1,所有数数字和为： （1+2+ +9）10+4510+1=901,方法二：分三大部分（210合为第二大部分） 10到19各数之和 ：110+（1+2+ +9）=110+45 20到29各数之和：210+（1+2+ +9）=210+45 90到99各数之和：910+（1+2+ +9）=910+45,课堂练习：一本书有600页，页码编号为1，2，600，问数字1在页码中出现多少次？,注意：分步，分类的两种类型（加法，乘法原理）,7,方法二把这“九部分”（都含有十位个位）合成一部分，共分三部分。,例4.将1到1992的1992个整数分成两组，甲组是数码中含有1的数（31,105，1992， ），乙组是数码中不含1 的数（如2,95,374， ）问两组各有多少个整数？,
