几何不变

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1、第 2 章,结构的几何构造分析 （4学时）,第2章 结构的几何构造分析,2.1几何构造分析的几个概念 2.2平面几何不变体系的组成规律 2.3平面杆件体系的计算自由度,3,几何组成分析的目的,检查并保证结构的几何不变性。（体系是否可做结构? 并创造新颖合理的结构形式） 区分静定结构和超静定结构。 指导结构的内力计算（几何组成分析与内力分析之间有密切联系）。,4,2-1几何构造分析的几个概念,1.体系：杆件约束(联系) 2.杆件：不考虑材料应变，视作刚体，平面刚体称为“刚片” 3.约束：限制刚片运动的装置。,5,4.两种体系,几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状不能改变。 几何

2、可变体系在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状可以改变。 几何可变：形状可变 ，整体或部分可动,6,体系分类,7,5.自由度,体系的运动自由度=体系独立位移的数目。 自由度是度量体系是否运动的数量标志，有自由度的体系必然运动，自由度等于零的体系可能不运动。,8,平面内一个自由的点有两个自由度， S = 2 即：由两个独立的坐标可唯一确定这个点的位置。,平面内的一个自由的刚片（平面刚片）有三个自由度。S = 3即：由三个独立的坐标可以唯一地确定这个刚片的位置。,9,6. 约束(联系)限制（或减少运动自由度的装置）,（1）链杆 两端是铰的刚性杆件。被约束物体不能沿链杆方向移动， 减少了被约束物

3、体的一个运动自由度。一根链杆=一个约束。,A,B,（2）单铰 联结两刚片的圆柱铰。被约束物体在单铰联结处不能有任何相对移动，减少了被约束物体的两个运动自由度。 一个单铰=两个约束=两根链杆。,A,10,（3）复铰 联结两个以上刚片的圆柱铰一个复铰=n 1 个单铰=2（n-1)个约束,A,如图：n = 3 1=2个单铰。,（n 复铰连接的刚片数）,（4）刚结点 刚性连接后成为一个整体,一个刚性点=三个约束,11,7. 实铰与虚铰（瞬铰） 从瞬时微小运动来看，与A点有实铰的约束作用一样。,A,图1,A,图2,A,无穷远处的瞬铰,相交在点,12,8.必要（非多余）约束和多余约束,链杆1、2（不共线）

4、，将A与地面相连接，为必要约束。,A,1,2,A,1,2,3,链杆1、2、3（不全共线），将A 与地面相连接，只限制了两个自由度，有一根链杆是多余约束（多余联系）。,13,必要约束： 为保持体系几何不变所需的最少约束。 如果在一个体系中增加一个约束，体系的自由度 因此减 少，此约束称为必要约束（或非多余约束）。 多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并 不因此减少，称此约束为多余约束。,14,规律1一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,A,B,C,1、一个点与一个刚片之间的联结方式,2-2 平面几何不变体系的组成规律,1

5、5,引论: 二元体(片)规则,二元体(片）：由两根相互不平行的链杆联接一个新结点的装置，称为二元体（片）。二元体规则：在一个刚片上增加一个二元体，体系仍为几何不变体系。并且无多余约束。,A,B,C,二元体,结论：在一个体系上，增加或拆除二元（片），不会改变原体系的几何性质。,16,2、两刚片之间的联接方式,规律2,两刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不在一直线上，或者不全交于一点也不全平行的三根链杆相联则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,A,B,C,17,O,瞬变体系,三杆不等长 瞬变 三杆等长 常变,瞬变体系,微小转动后变为几何不变体系,18,3、三刚片之间的联结方式,规律3：三个

6、刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变整体，且无多余约束。,A,B,C,三刚片六链杆,瞬变体系（三链杆交于同一点）,A,B,C,瞬变体系,20,某一瞬时可以发生微小运动，经过微小运动（位移）后，又成为几何不变的体系，称为瞬变体系。,A,A,FP,FN1,FN2,受力分析：,由x=0 FN1=FN2=FNy=0 2FN sin- FP =0FN= FP /2sin,趋近于零，则FN趋近于无穷大。表明：瞬变体系即使在很小的荷载作用下，也会产生很大的内力，从而导致体系迅速破坏。工程结构不能采用瞬变体系，接近瞬变的体系也应避免使用。,21,补充： 三刚片中虚铰在无穷远处,一个瞬铰在

7、无穷远处时，如果组成此无穷远瞬铰的两平行链杆与另外两铰的连线不平行，则为几何不变，若平行为瞬变，若两平行链杆及另两铰的连线平行且相等为常变。,1、一个虚铰在无穷远处,22,2、两虚铰在无穷远处,两个瞬铰在无穷远处时，如果组成两无穷远瞬铰的两对平行链杆互不平行，则体系为几何不变，若两对平行链杆相互平行则为瞬变，若四杆平行且等长为常变。,23,3、三虚铰在无穷远处,三个瞬铰在无穷远处时，体系为瞬变，则三对链杆平行且相等 ，则为常变。,24,说明：,（1）以上规律，虽然表达方式不同，但可以归纳为一个基本规律，即三角形规律。说明如三铰不共线，则一个铰结三角形是几何不变的，且无多余约束。 （2）如果把（

8、刚片I）看成为基础，则规律1，说明一点的固定方式；规律2说明一个刚片的固定方式；规则3说明两个刚片个固定方式。（三种基本的装配方式）,25,分析几何组成一般的规律和技巧利用二元体的特点，拆二元体可以把复杂的体系化简，增加二元体可以扩大刚片。 把基础作为一个刚片，按照平面几何不变体系的组成规律从基础出发进行装配。 从内部出发利用平面几何不变体系的组成规律进行装配，然后与地基装配起来。 当支座约束3时，多数情况下把基础作为一个刚片，然后在体系内部选两个刚片，使三个刚片两两之间有一个铰联结（包括两根链杆形成的瞬铰）利用三刚片规则，三铰不共线则为几何不变体系。 对于有瞬铰在无穷远处的情况，利用射影几何

9、中的点和线的四结论，(1)每个方向有一个点(2)不同方向有不同的点(3) 各点在一条直线上，此直线为无穷远线（4）各有限点都不在线上。,26,分析几何组成一般的规律和技巧对于折杆或曲杆可以转化为链杆。 一个瞬铰在无穷远处时，如果组成此无穷远瞬铰的两平行 链杆与另外两铰的连线不平行，则为几何不变，若平行为瞬变，若两平行链杆及另两铰的连线平行且相等为常变。 两个瞬铰在无穷远处时，如果组成两无穷远瞬铰的两对平行链杆互不平行，则体系为几何不变，若两队平行链杆相互平行则为瞬变，若四杆平行且等长为常变。 三个瞬铰在无穷远处时，体系为瞬变，则三对链杆平行且相等 ，则为常变。 理论上凡是与地球不相连的体系全部

10、是几何可变体系，但是当分析不与地球相连的体系时，是分析的体系内部的几何性质,27,分析几何组成一般的规律和技巧几何组成分析时，应分清刚片（组合刚片）和约束，所有部件使用不重复不遗漏。注意对于某些复杂体系，基本规律不适用。 刚片周围作联系，隔着联系找刚片 分析次序一般是：,杆件 刚片 地球,28,二、几何组成分析举例,用基本规律分析图示体系的几何构造。解1：用固定一个点的装配方式。从基础出发依次增加二元体,对图示体系进行几何组成分析。,例1,29,解2：因为基础可视为几何不变的刚片，可用减二元体的方法进行分析。,注:二元体遇到,可以先去掉。,30,例2,解：固定一个刚片的装配方式。AB部分与基础

11、固结在一起，可视为一扩大的刚片。CD视为刚片，、用链杆1，2，3联结。,1,2,3,结论：几何不变，无多余约束。,对图示体系进行几何组成分析。,31,例3,解：AB 与基础视为扩大的刚片，BC视为刚片，用铰B和链杆1联结，满足规律4，视为扩大的刚片 ，CD视为刚片，与，用铰C和链杆2，3联结。,1,2,3,结论：有一个多余约束的几何不变体系。,对图示体系进行几何组成分析。,32,例4,解： 两刚片装配方式。从内部出发，、支座杆为3，可先不考虑基础，分析体系本身。, 、几何不变部分，可视为一刚片。,ADC，CBE，用铰C和链杆DE联结满足规律2，组成一大刚片，上部体系与基础用3根链杆联结。,结论

12、：体系几何不变，无多余约束。,对图示体系进行几何组成分析。,33,例5,解：支座杆多于3，上部体系与基础一起分析。两点用铰与其他部分联结的曲、直杆均可视为链杆。基础，CDE，两刚片用1，2，3链杆联结。,1,2,3,O,三杆交于一点。结论：几何瞬变体系。,对图示体系进行几何组成分析。,如何分析?,34,35,解：用规则1，2、4均不妥。体系有九根杆，规律3适用。取三根不相邻的链杆作刚片，相连的三个铰不共线。,O,O,O,结论：体系内部几何不变，无多余约束。,例6a 对图示体系进行几何组成分析。,36,解：用规则1，2、4均不妥。体系有九根杆，规律3适用。取三根不相邻的链杆作刚片，相连的三个铰共

13、线。,结论：体系内部几何瞬变。,O,O,O,例6b 对图示体系进行几何组成分析。,37,1,2,3,4,图7 对图示体系进行几何组成分析。,38,例8：,有一个多余约束的几何不变体系。,对图示体系进行几何组成分析。,39,例9：,对图示体系进行几何组成分析。,O12,O23,O13,40,O12,O13,O23,一虚铰在无穷远处,O12,O23,O13,两虚铰在无穷远处且方向一致，相当于一个铰。,41,O12,O13,O23,三虚铰在无穷远处,瞬变,42,若一个是无穷远瞬铰，另外两个为实铰，则该体系为可变体系,43,例10：,(a),(b),对图示体系进行几何组成分析。,44,(a),O12,

14、O13,O23,瞬变体系,45,O12,O23,O13,(b),瞬变体系,问题,如何理解瞬变体系都是有多余约束的？ 在几何组成分析中关于固定铰支座拆分的问题？,47,小结,应用以上基本规律，可组成各种各样的平面杆系体系（结构），关键是灵活应用。(2) 用基本规律分析平面杆系体系时，体系中所有杆件不可重复使用，也不可漏掉，否则有误。 (3) 有些在分析中常用的方法，可归纳如下：支杆数为 3， 体系本身先（分析）；支杆多于 3， 地与体系联；几何不变者，常可作刚片；曲杆两端铰，可作链杆看；二元体遇到，可以先去掉。 在解题过程中，可总结归纳，提高解题能力和技巧。,2-3 平面杆件体系的计算自由度,平面杆件体系是由若干部件（刚片、杆件或点）加入约束组成的。计算其自由度时，可以：（1）按部件（刚片、杆件或点）都是自由的计算出自由度数目；（2）计算全部约束（一般应分出非多余约束和多余约束）；（3）两者相减，即得出体系的自由度。,