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1、1.3 古典概型与几何概型,一、古典概型的概念 二、古典概型举例 三、几何概型,若试验具有下述两特点: 1试验的样本空间中的元素个数只有有限个, 可记为S=e1,e2,en2每个基本事件ei出现的可能性相等, i=1, 2,n, 即P(e1)=P(e2)=P(en)=1/n 则称此试验为古典概型, 亦称为等可能概型。,一、古典概型的概念,1、古典概型的定义,2、古典概型计算公式,对于任意一个随机事件AS，设A包含k(n)个基本事件，则事件A发生的概率,古典概型计算概率的步骤： （1）检查试验类型是否是古典概型，若是转到下一步； （2）弄清试验的样本点是什么，S包含多少个样本点，即n=? （3）
2、弄清A中的样本点是什么，包含多少个样本点，即k=? （4）利用古典概型计算公式进行计算。,例3.1 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面出现H、反面T出现的情况。设事件A1为“恰有一次出现正面”, 求P(A1); 设事件A2为“至少有一次出现正面”, 求P(A2).,解：(1)我们先考虑这一试验的样本空间S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT, 而A1=HTT, THT, TTH, 易见S中包含n=8个基本事件, 且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,故此试验为古典概型, 且事件A包含k=3个基本事件,故由古典概型计算公式得：P(A1)=3/8,例3.2
3、 从1, 2, , 10共10个数中任取一数，设每个数以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出7个数，求系列事件的概率： （1）A1=7个数各不相同 （2）A2=不含10和1 （3）A3=10恰好出现两次 （4）A4=10至少出现两次,例3.3 在十个数字0, 1, 2, 9中不重复地任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？,解：记A=第k位顾客中奖，抽奖券为不放回抽样，则：,例3.4(抽奖券问题) 设某超市有奖销售，投放n张奖券只有1张有奖，每位顾客可抽1张。求第k位顾客中奖的概率(1kn)。,例3.5 在12000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的
4、概率是多少?,解: 设 A 为事件“取到的数能被6整除”, B为事件 “取到的数能被8整除”, 则所求概率为,于是所求概率为,例3.6 某专业研究生复试时，有3张考签，3个考生应试，一个人抽一张看后立即放回，再让另一个抽，如此3个人各抽一次，试求抽签结束后，至少有一张考签没有被抽到的概率。,例3.7 设有n个人，每个都等可能的被分到N个房间中的任意一间中去住(nN)，求下列事件的概率： （1）A=某指定的n房间中各有一个人住； （2）B=恰好有n个房间，其中各住一人； （3）C=某指定的一间房中恰有m(mn)人。,例3.8（生日问题）设某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的
5、概率是多大？,解：假定一年按365天计算，每个人的生日在365天中的任一天是等可能的，都为1/365，若把365天当作365个“格子”，此时“n个人的生日各不相同”，就相当于“恰有n个格子，其中各住一人”。 令A=n个人人中至少有两个人的生日相同 B=n个人的生日全不相同,用前面的公式可以计算此事出现的概率为P(A)=1 0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日。,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476。,人数 至少有两
6、人同 生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的。实际上，这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大。当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的。,例3.9(女士品茶问题) 一位常饮牛奶加茶的女士称: 她能从一杯冲好的饮料中辨别出是先放茶还是先放牛奶, 并且她在10次试验中都能正确地辨别出来, 问她的说法是否可信?,解: 假设其说法不可信, 即认为她纯粹是猜测。记事件A=10次均猜对
7、牛奶与茶的次序。 则P(A)=1/210=0.0009766,根据“实际推断原理”的准则: 小概率事件在一次试验中是实际不会发生的, 据此原理, A实际不会发生, 与试验结果矛盾, 故假设错误, 即该女士的说法是可信的。,三、几何概型,1、几何概型的定义,若试验具有下述两特点：1试验的可能结果有无限多个，且全部可能结果的集合可以用一个有度量(如长度、面积、体积等)的几何区域来表示；2每次试验中每个可能结果的出现是等可能的。 则称此试验为几何概型。,2、几何概型的计算公式,试验可看作是在某一可度量(如长度、面积、体积等)的区域G内任取一点，则此时样本空间即为区域G内的点的全体，而随机事件A=取到
8、的点落在某子区域g内的概率为,(1)将样本空间对应于具体区域，并按一维、二维、三维区域，确定相应的几何度量分别为区间长度、平面区域面积、立体区域体积； (2)根据题设条件确定随机事件对应的区域，并利用几何公式或积分方法计算其几何度量； (3)利用几何概型的计算公式求出的概率。,几何概型的求解步骤,例3.10 某公共汽车站从上午7时起，每隔15分钟有一辆公共汽车通过，现有一乘客在7:00到7:30之间随机到站候车。求： (1)该乘客候车时间小于5分钟的概率。 (2)该乘客候车时间超过10分钟的概率。,解：用T表示该乘客到达时刻，设问题(1)、(2)涉及事件为A、B，则,G=7:00T7:30，,gA=7:10T7:15或7:25T7:30，,gB=7:00T7:05或7:15T0)的一些平行线，向平面任意投一长为l(ld)的针，试求事件A=针与平行线相交的概率(假设针落在平面任何一处是等可能的)。,则G=(x,)|0xd/2，0/2。 事件A=针与平行线相交，等价于xl/2cos， 故g即为下右图中的阴影部分,解：由等可能性，只需考虑两线间的情形。设针的中点为O，从O向最近的一条平行线作垂线OM，记OM长为x，针与OM的夹角为。于是针的位置由x与 完全确定，,
