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1、第七章 地球椭球与椭球计算理论,本章提要 7.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 7.3 几种主要的椭球面曲率公式 7.4 将地面观测值归算至椭球面7.5 大地测量主体解算概述习题,本章提要,本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上。在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭球的这些基本空间概念后，才能更好地学习控制测量的内业数据处理等相关知识。,1地球椭球的定义及其几何意义；2常用测量坐标系统的建立及其在
2、控制测量中的应用；3各种测量坐标系统之间的相互转换；4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；5地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。,知识点及学习要求,难点在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。 各种常用测量坐标系统的建立与相互转换； 几种常用的椭球计算公式； 地面观测值归算到椭球面的方法与计算。,7.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系,1. 地球椭球的基本几何参数,地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。,参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考
3、椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。,地球椭球的几何定义：O是椭球中心，为旋转轴，a 为长半轴，b 为短半轴。,子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。,赤道：通过椭球中心的平行圈,地球椭球的五个基本几何参数：椭圆的长半轴椭圆的短半轴b椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率,椭圆的第二偏心率,其中 、b 称为长度元素；扁率 反映了椭球体的扁平程度。偏心率 和 是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比， 它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。,两个常用的辅助函数， 第一基本纬度函数， 第二基本纬度函数：,我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫
4、斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。,几种常见的椭球体参数值,2. 地球椭球参数间的相互关系,其他元素之间的关系式如下：,式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。,7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系,1 .大地坐标系,p 点的子午面NPS 与起始子午面 NGS 所构成的二面角L，叫做p 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0180），向西为负，叫西经（0180）。P 点的法线 与赤道面的夹角B，叫做P点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（090）；向南为负，叫南纬(090
5、)。,大地坐标系是用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示地面点位的。过地面点P的子午面与起始子午面间的夹角叫P点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0-180），向西为负，叫西经（0-180）。过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0 -90），向南为负，叫南纬（0-90）。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除,外，还要附加另一参数大地高，它同正常高及正高有如下关系,2. 空间直角坐标系,以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线x 为轴，在赤道面上与X 轴正
6、交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系OXYZ，在该坐标系中，p点的位置用X,Y,Z表示。地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。,3 . 子午面直角坐标系,设点 p 的大地经度L为，在过p点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y 平面直角坐标系。在该坐标系中，p 点的位置用L,x,y 表示。,4 . 大地极坐标系,M 为椭球体面上任意一点，MN 为过M 点的子午线，S 为连结的大地线长，A 为大地线在M 点的方位角。以M 为极
7、点，MN 为极轴，S 为极半径，A为极角，这样就构成大地极坐标系。在该坐标系中p 点的位置用S,A 表示。,椭球面上点的极坐标（S,A）与大地坐标(L,B）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。,5. 各坐标系间的关系,椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。,1）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系,过p 点作法线 ，它与x 轴之夹角为B，过点作子午圈的切线TP，它与x 轴的夹角为（90+B）。子午面直角坐标x,y 同大地纬度B 的关系式如下：,2）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系,空间直角坐标系中 的相当于子午平面直角坐标系中的y，前者的 相当
8、于后者的，并且二者的经度L相同。,3）空间直角坐标系同大地坐标系的关系,同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换,式中：e子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 算得。,N法线长度，可由式 算得。,7.3 几种主要的椭球公式,过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。,1. 子午圈曲率半径,子午椭圆的一部分上取一
9、微分弧长 ，相应地有坐标增量 ，点n是微分弧 的曲率中心，于是线段 及 便是子午圈曲率半径 M。,任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：,子午圈曲率半径公式为：,或,与纬度有关它随的增大而增大，变化规律如下表所示：,2.卯酉圈曲率半径,过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中 即为过点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用表示。,为了推导的表达计算式，过点作以为 中心的平行圈的切线，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故也是卯酉圈在点处的切线。即垂直于 。所以是平行圈及卯酉圈 在点处的公切线。,卯酉圈曲
10、率半径可用下列两式表示：,3. 任意法截弧的曲率半径,子午法截弧是南北方向，其方位角为0或180。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90或270。现在来讨论方位角为的任意法截弧的曲率半径 的计算公式。任意方向的法截弧的曲率半径的计算公式如下：,4. 平均曲率半径,在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向 的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径平均曲率半径R：,或,因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径等于该点子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的几何平均值。,M、N、R的关系,NR M只有在极点上，它们才相等，且均等于
11、极曲率半径c，即：,5. 子午线弧长计算公式,子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。,如下图所示，取子午线上某微分弧 ，令点纬度为， 点纬度为 ，点的子午圈曲率半径为，于是有：,从赤道开始到任意纬度的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：,式中M可用下式表达：,其中：,经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：,为求子午线上两个纬度 及 间的弧长，只需按上式分别算出相应的 及 ，而后取差： ，该 即为所求的弧长。,克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：,1975年国际椭球子午线弧长计算公式：,6.平行圈弧长公式,7.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,8. 底点纬度计算,
12、在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X，Y）反求其大地坐标（L，B）。首先X当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。,（1）迭代法,在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设,以后每次迭代按下式计算：,重复迭代直至 为止。,在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。,（2）直接解法,1975年国际椭球：,克拉索夫斯基椭球：,9. 大地线,椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点
13、的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线。,假如在椭球模型表面,两点之间，画出相对法截线如图所示，然后在,两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间的最短线。,在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。,1).相对法截线,假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截
14、面。用A点照准B点，则照准面同椭球面的截线为，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B照A点，则照准面同椭球面的截线为，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因法互不相交，故和这两条法截线不重合。我们把和叫做A、B两点的相对法截线。,9. 大地线,2)大地线的定义和性质,椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。在微分几何中，定义为“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间的曲面曲线。,大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为：,假如在椭球模型表面,两点之间，画出相对法截线如图所示，然后在,两点上各插定
15、一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间的最短线。,3)大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程,大地线微分方程:,利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确性,克莱劳方程,7.4 将地面观测值归算至椭球面,1.概述,参考椭球面是测量计算的基准面。在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。,在归算中有两条基本要求： 以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。,2. 将地面观测的水平方向归算至椭球面,1) 垂线偏差改正,地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以 表示。,如下图所示，以测站为中心作出单位半径的辅助球， 是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以 表示，M是地面观测目标m在球面上的投影。,
