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1、11.椭圆专题能力提升训练一、知识要点1.定定义义x y O FFP A A B11121222MMKK，其|2,2|2121FFaaPFPFPM 中叫椭圆的焦点.21,FF2.标标准方程与几何性准方程与几何性质质（以焦点在轴上的椭圆为x例）（1）标准方程： 12222 by ax)0( bax y O FFP A A B11121222MMKK（2）范围：axa，byb（3）.对称性：对称轴为 x 轴、y 轴，对称中心为原点（4）顶点：左0 , a，右0 , a，下b, 0，上 b, 0（5）轴：长轴a2，短轴b2（6）焦点：左，右)0 ,( c)0 ,(c)(222cba（7）离心率：准焦
2、 drace，且10 e（8）通径：abL22（9）焦半径：椭圆上的点00, yxP处的焦半径为0exar左，0exar右.3.参数方程参数方程为参数 . sincosbyax()4.方法技巧方法技巧（1）牢抓“六点、四线、一形”；（2）充分利用几何性质法以减小计算量.二、考点演练题题型一：求型一：求椭圆椭圆的的标标准方程准方程1.已知椭圆的焦点在轴上，过点作圆x 21, 1的切线，切点分别为 A，B，若直线122 yxAB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_.【答案】14522 yx【解析】点在圆 O:外，过点)21, 1 (122 yx与圆相切的一条直线为 x=1，与 x 轴交于点
3、)21, 1 (1,0)，椭圆的右焦点为(1,0)，即 c=1.设点 P，连接 OP，则)21, 1 (OPAB，则直线 AB21OPk2ABk的方程为 2xy2=0.直线 2xy2=0 与 y 轴交于点(0，2)，b=2.于是，所以椭圆方程为5222cba.14522 yx2.已知点CBA,均在椭圆上，直线AB，MAC分别过椭圆 M 的左、右焦点1F，2F，且，当时，)0 , 1(1F021 FFAC，若P是椭圆M上任一点， 2 1219AFAFAFEF为圆12:22 yxN的任一直径，则的最大值为_.【答案】8 PFPE【解析】由，得.021 FFAC 21FFAC1122cosAFF A
4、FAF .2于是由， 2 1219AFAFAF得22212121221199cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF 22212121221199cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF ，即22212121221199cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF 22212121221199cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF ，即123AFAF .又aAFAF221，123,22aaAFAF .在12AFF中，2221212AFAFFF ，即) 1(4223222 aaa，解得22a.所以椭圆M方程为1222 yx. NPNFNPNEPFPE 1222NPN
5、FNPNPNFNPNF 1222NPNFNPNPNFNPNF，于是只需求2NP的最大值.因为P是椭圆M上任一点，设00, yxP，则有122 02 0 yx，即2 02 022yx.由2 , 0N，得10222 02 02 02yyxNP.而1 , 10y，所以当10y时，2NP取最大值9，即PFPE 的最大值为 8.3.已知椭圆：的右焦点E)0( 12222 baby ax为，过点的直线交椭圆于、两)03( ,FFEAB点，若的中点坐标为，则的方程为AB) 11 ( ,E_.【答案】191822 yx【解析】点差法点差法由，得，则.)0 , 3(F3c922ba令，则),(),(2211yx
6、ByxA.2, 22121yyxx由两式作差， 1122 2 22 222 1 22 1by axby ax，即，22121 22121)()( byyyy axxxx所以，2121 22)(22 xxyy ab 即，所以.21 131022 kab222ba 又因为，联立解得.922ba9,1822ba所以椭圆的方程为为.E191822 yx题题型二：型二：椭圆椭圆定定义义的的应应用用4.已知椭圆，P 为椭圆上22221xy ab)0( ba与长轴端点不重合的一点，分别为椭圆的左、21,FF右焦点，过作F1PF2的外角平分线的垂线，垂2F足为 Q，若，椭圆的离心率为，则bOQ2e的最小值为（
7、 ） 【答案】A222ae bA. B. C.D.136 23 2【解析】延长交直线于 M，则QF2PF1.2PFPM 35.已知椭圆的上顶点为，左2 2 211xyaaA顶点为，设是椭圆上的任意一点，且BP面积的最大值为，若点，PAB213,0M ，为椭圆上的任意一点，则3,0NQ的最小值为（ ） 【答案】B14 QNQMA. 2 B. C.3 D.9 4
8、32 2【解析】设.( cos ,sin ),AB:1xP aya由面积为PAB221|cossin|cossin1|2112221aaaaaa a ，得.221|cossin|cossin1|2112221aaaaaa a 2a 由，24QMQNa得1414()14149=()(5)(52)4444QMQNQNQMQN QM QNQMQNQMQMQNQMQN1414()14149=()(5)(52)4444QMQNQNQMQN QM QNQMQNQMQMQNQMQN.1414()14149=()(5)(52)4444QMQNQNQMQN QM QNQMQNQMQMQNQMQN当且仅当时，所求
9、的最小值为.2QMQN496.已知、是椭圆的1F2F12222 by ax)0( ba两个焦点，P 为椭圆上一点，且，021 PFPF若的面积为 9，则_.【答案】21FPFb3b【解析】由，得.021 PFPF21PFPF 令，则，即2211,rPFrPF92121rr.1821rr由，得. 22 22 121 42crrarr22 22 122 2212 1 442crrarrrr于是，即，即，224364ac922ca92b所以.3b7.已知椭圆，点 M 与 C 的焦点不149:22 yxC重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则_.【答案】1
10、2 BNAN【解析】如图，设 MN 的中点为 Q，则，Q 在椭圆 C 上，BNQFANQF21,2121，于是.621 QFQF12 BNAN题题型三：求型三：求椭圆椭圆的离心率的的离心率的值值或取或取值值范范围围8.已知 M，N 分别是椭圆上关于原点对称的两点，12222 by ax)0( baP 是椭圆上任意一点，且直线 PM、PN 的斜率分别为，若的最小值为21,kk)0(21kk21kk 1，则椭圆的离心率为_.【答案】23e【解析】令，),(),(),(001111yxPyxNyxM4则，两式作差得 1122 2 22 222 0 22 0by axby ax，即.22 12 0 2
11、2 12 0 byy axx222 12 02 12 0 ab xxyy于是10101010 212122xxyy xxyykkkk，ab ab xxyy222222 12 02 12 0当且仅当时，的最小值为.21kk 21kk ab2从而，即.12abba2于是，即，即224ba 22244caa，2243ca 所以，则.432e23e9.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，x，为椭圆的顶点，为右焦点，1A2A1B2B2F延长与交于点，若为钝角，12B F22A BP12B PB则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） 【答案】CA. B
12、. C.52(,1)252(0,)2D.51(0,)251(,1)2【解析】设，1(0,)Bb2(0, )Bb2( ,0)F c，则，.2( ,0)A a22( ,)B Aab 21(,)F Bcb 由为钝角，即与的夹角为锐角，12B PB21F B22B A 得，2 22210B A F Bacb A即，即，220acac210ee 解得.5151 22e又因为，所以.01e5102e10.已知椭圆的右焦点为12222 by ax)0( ba，右准线与轴交于点 A，在椭圆上存在点 PFx满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆的离心率的取值范围是_
13、.【答案】) 1 ,21【解析】由线段 AP 的垂直平分线过点 F，得.ccaFAFP2又因为，所以，caFPcacca2即，即，0222aacc0122 ee解之得或（舍）.21e1e又因为，所以.10 e121 e所以椭圆的离心率.) 1 ,21e题题型四：型四：椭圆椭圆的几何性的几何性质质的的应应用用11.已知椭圆的左、右顶点分别为134:22 yxE，点 P 在椭圆 E 上，若直线的斜率的21, AA2PA取值范围是，则直线的斜率的取值范 1, 21PA围是（ ） 【答案】DA. ， B. ，11234
14、12C. ，1 D. ， 343834【解析】令，则.),(00yxP1342 02 0yx5由，得，)0 , 2(),0 , 2(21AA 2001xykPA，则.2002xykPA42 02 021xykkPAPA由，得，1342 02 0yx 3442 02 0yx于是.43342 02 021 yykkPAPA由，即，12 1PAk14322PAk解得.选 D.43 832PAk12.标准方程为的椭圆 C12222 by ax)0( ba的左、右焦点分别为，上顶点为 A，过点21,FFA 作与垂直的直线交轴的负半轴于点 Q，2AFx已知，且过 A，Q，三点的02221 QFFF2F圆恰好与直线相切.033:yxl（1）求椭圆 C 的离心离及方程；（2）已知点是椭圆 C 上的定点，
