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1、11.椭圆专题能力提升训练一、知识要点1.定定义义x y O FFP A A B11121222MMKK,其|2,2|2121FFaaPFPFPM 中叫椭圆的焦点.21,FF2.标标准方程与几何性准方程与几何性质质(以焦点在轴上的椭圆为x例)(1)标准方程: 12222 by ax)0( bax y O FFP A A B11121222MMKK(2)范围:axa,byb(3).对称性:对称轴为 x 轴、y 轴,对称中心为原点(4)顶点:左0 , a,右0 , a,下b, 0,上 b, 0(5)轴:长轴a2,短轴b2(6)焦点:左,右)0 ,( c)0 ,(c)(222cba(7)离心率:准焦
2、 drace,且10 e(8)通径:abL22(9)焦半径:椭圆上的点00, yxP处的焦半径为0exar左,0exar右.3.参数方程参数方程为参数 . sincosbyax()4.方法技巧方法技巧(1)牢抓“六点、四线、一形”;(2)充分利用几何性质法以减小计算量.二、考点演练题题型一:求型一:求椭圆椭圆的的标标准方程准方程1.已知椭圆的焦点在轴上,过点作圆x 21, 1的切线,切点分别为 A,B,若直线122 yxAB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为_.【答案】14522 yx【解析】点在圆 O:外,过点)21, 1 (122 yx与圆相切的一条直线为 x=1,与 x 轴交于点
3、)21, 1 (1,0),椭圆的右焦点为(1,0),即 c=1.设点 P,连接 OP,则)21, 1 (OPAB,则直线 AB21OPk2ABk的方程为 2xy2=0.直线 2xy2=0 与 y 轴交于点(0,2),b=2.于是,所以椭圆方程为5222cba.14522 yx2.已知点CBA,均在椭圆上,直线AB,MAC分别过椭圆 M 的左、右焦点1F,2F,且,当时,)0 , 1(1F021 FFAC,若P是椭圆M上任一点, 2 1219AFAFAFEF为圆12:22 yxN的任一直径,则的最大值为_.【答案】8 PFPE【解析】由,得.021 FFAC 21FFAC1122cosAFF A
4、FAF .2于是由, 2 1219AFAFAF得22212121221199cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF 22212121221199cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF ,即22212121221199cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF 22212121221199cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF ,即123AFAF .又aAFAF221,123,22aaAFAF .在12AFF中,2221212AFAFFF ,即) 1(4223222 aaa,解得22a.所以椭圆M方程为1222 yx. NPNFNPNEPFPE 1222NPN
5、FNPNPNFNPNF 1222NPNFNPNPNFNPNF,于是只需求2NP的最大值.因为P是椭圆M上任一点,设00, yxP,则有122 02 0 yx,即2 02 022yx.由2 , 0N,得10222 02 02 02yyxNP.而1 , 10y,所以当10y时,2NP取最大值9,即PFPE 的最大值为 8.3.已知椭圆:的右焦点E)0( 12222 baby ax为,过点的直线交椭圆于、两)03( ,FFEAB点,若的中点坐标为,则的方程为AB) 11 ( ,E_.【答案】191822 yx【解析】点差法点差法由,得,则.)0 , 3(F3c922ba令,则),(),(2211yx
6、ByxA.2, 22121yyxx由两式作差, 1122 2 22 222 1 22 1by axby ax,即,22121 22121)()( byyyy axxxx所以,2121 22)(22 xxyy ab 即,所以.21 131022 kab222ba 又因为,联立解得.922ba9,1822ba所以椭圆的方程为为.E191822 yx题题型二:型二:椭圆椭圆定定义义的的应应用用4.已知椭圆,P 为椭圆上22221xy ab)0( ba与长轴端点不重合的一点,分别为椭圆的左、21,FF右焦点,过作F1PF2的外角平分线的垂线,垂2F足为 Q,若,椭圆的离心率为,则bOQ2e的最小值为(
7、 ) 【答案】A222ae bA. B. C.D.136 23 2【解析】延长交直线于 M,则QF2PF1.2PFPM 35.已知椭圆的上顶点为,左2 2 211xyaaA顶点为,设是椭圆上的任意一点,且BP面积的最大值为,若点,PAB213,0M ,为椭圆上的任意一点,则3,0NQ的最小值为( ) 【答案】B14 QNQMA. 2 B. C.3 D.9 4
8、32 2【解析】设.( cos ,sin ),AB:1xP aya由面积为PAB221|cossin|cossin1|2112221aaaaaa a ,得.221|cossin|cossin1|2112221aaaaaa a 2a 由,24QMQNa得1414()14149=()(5)(52)4444QMQNQNQMQN QM QNQMQNQMQMQNQMQN1414()14149=()(5)(52)4444QMQNQNQMQN QM QNQMQNQMQMQNQMQN.1414()14149=()(5)(52)4444QMQNQNQMQN QM QNQMQNQMQMQNQMQN当且仅当时,所求
9、的最小值为.2QMQN496.已知、是椭圆的1F2F12222 by ax)0( ba两个焦点,P 为椭圆上一点,且,021 PFPF若的面积为 9,则_.【答案】21FPFb3b【解析】由,得.021 PFPF21PFPF 令,则,即2211,rPFrPF92121rr.1821rr由,得. 22 22 121 42crrarr22 22 122 2212 1 442crrarrrr于是,即,即,224364ac922ca92b所以.3b7.已知椭圆,点 M 与 C 的焦点不149:22 yxC重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则_.【答案】1
10、2 BNAN【解析】如图,设 MN 的中点为 Q,则,Q 在椭圆 C 上,BNQFANQF21,2121,于是.621 QFQF12 BNAN题题型三:求型三:求椭圆椭圆的离心率的的离心率的值值或取或取值值范范围围8.已知 M,N 分别是椭圆上关于原点对称的两点,12222 by ax)0( baP 是椭圆上任意一点,且直线 PM、PN 的斜率分别为,若的最小值为21,kk)0(21kk21kk 1,则椭圆的离心率为_.【答案】23e【解析】令,),(),(),(001111yxPyxNyxM4则,两式作差得 1122 2 22 222 0 22 0by axby ax,即.22 12 0 2
11、2 12 0 byy axx222 12 02 12 0 ab xxyy于是10101010 212122xxyy xxyykkkk,ab ab xxyy222222 12 02 12 0当且仅当时,的最小值为.21kk 21kk ab2从而,即.12abba2于是,即,即224ba 22244caa,2243ca 所以,则.432e23e9.如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,x,为椭圆的顶点,为右焦点,1A2A1B2B2F延长与交于点,若为钝角,12B F22A BP12B PB则该椭圆的离心率的取值范围是( ) 【答案】CA. B
12、. C.52(,1)252(0,)2D.51(0,)251(,1)2【解析】设,1(0,)Bb2(0, )Bb2( ,0)F c,则,.2( ,0)A a22( ,)B Aab 21(,)F Bcb 由为钝角,即与的夹角为锐角,12B PB21F B22B A 得,2 22210B A F Bacb A即,即,220acac210ee 解得.5151 22e又因为,所以.01e5102e10.已知椭圆的右焦点为12222 by ax)0( ba,右准线与轴交于点 A,在椭圆上存在点 PFx满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆的离心率的取值范围是_
13、.【答案】) 1 ,21【解析】由线段 AP 的垂直平分线过点 F,得.ccaFAFP2又因为,所以,caFPcacca2即,即,0222aacc0122 ee解之得或(舍).21e1e又因为,所以.10 e121 e所以椭圆的离心率.) 1 ,21e题题型四:型四:椭圆椭圆的几何性的几何性质质的的应应用用11.已知椭圆的左、右顶点分别为134:22 yxE,点 P 在椭圆 E 上,若直线的斜率的21, AA2PA取值范围是,则直线的斜率的取值范 1, 21PA围是( ) 【答案】DA. , B. ,11234
14、12C. ,1 D. , 343834【解析】令,则.),(00yxP1342 02 0yx5由,得,)0 , 2(),0 , 2(21AA 2001xykPA,则.2002xykPA42 02 021xykkPAPA由,得,1342 02 0yx 3442 02 0yx于是.43342 02 021 yykkPAPA由,即,12 1PAk14322PAk解得.选 D.43 832PAk12.标准方程为的椭圆 C12222 by ax)0( ba的左、右焦点分别为,上顶点为 A,过点21,FFA 作与垂直的直线交轴的负半轴于点 Q,2AFx已知,且过 A,Q,三点的02221 QFFF2F圆恰好与直线相切.033:yxl(1)求椭圆 C 的离心离及方程;(2)已知点是椭圆 C 上的定点,