控制系统计算机辅助分析

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1、第五章：控制系统计算机辅助分析,控制系统的分析包括四部分： 系统的稳定性分析； 时域分析； 频域分析； 根轨迹分析。,5.1 控制系统的稳定性分析,对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面的左半平面，则系统是稳定的。 对于离散时间系统，如果系统全部闭环极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。 右半s平面既无零点又无极点，且不含有纯延迟环节的系统称为最小相位系统。,一、系统稳定及最小相位系统判据,5.1.1特征方程根的求取,1、对n阶线性定常系统，其特征方程是一个n次的代数方程。特征方程的根即为系统闭环极点。Matlab提供了求取特征方程根的函数：Vroots（P）P为特征多项式的系数向量

2、，返回值V为特征根构成的系数向量。,例,若n阶微分方程如下：,或闭环系统传递函数为：,则其特征方程为：,2、对于n维状态方程描述的系统 矩阵A为nn阶方阵，那么系统 的特征多项式为：Maltab提供了求取矩阵特征多项式的函数Pploy（A） P为n+1维行向量，各分量为矩阵特征多项式按降幂排列的各项系数。 然后再借助Vroots（P）函数即可判定系统的稳定性。,3、直接求取矩阵的特征值，Maltab提供了求取矩阵特征值的函数D=eig(A) V,D=eig(A) D为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。V是由与特征值对应的特征向量构成的矩阵,5.1.2利用传递函数零极点判断系统稳定性,

3、函数tf2zp可用来化传递函数模型为零极点增益模型 函数pzmap()用来绘制闭环系统的零极点分布图。调用格式如下：pzmap(num,den) 绘制零极点图p,z=pzmap(num,den)求取系统零极点图，但不绘制图形,例题1： 已知某系统的模型 如右所示：,要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。,例题1： A=1 2 -1 2;2 6 3 0;4 7 -8 -5;7 2 1 6; B=-1 0 0 1; C=-2 5 6 1; D=7; P=poly(A); %求特征多项式 V=roots(P) %求特征根 可知系统不稳定，也不是最小相位系统,系统模型如下所示，判断系统的稳定性

4、，以及系统是否为最小相位系统。,例题2,例题2 num=3 16 41 28; den=1 14 110 528 1494 2117 112; pzmap(num,den) p,z=pzmap(num,den) %验证零极点可知：系统稳定而且是最小相位系统,5.1.3利用李雅普诺夫第二法判别系统稳定性,线性定常连续系统当A为非奇异矩阵，系统有唯一平衡状态 Xe0。李雅普诺夫第二法指出：如果对任意给定的正定对称矩阵Q都存在一个正定的实对称矩阵P满足下面的方程：ATP+PA=-Q 那么系统的平常状态Xe0是渐进稳定的。并且V(s)=xTPx就是系统的李亚普诺夫函数，通常取Q为单位阵。,李雅普诺夫方

5、程的求解函数,Plyap（A，Q）通常正定实对称阵Q取单位阵。 例题：参见P171，例题5.3,5.2 控制系统的时域分析,5.2.1时域分析的一般方法,首先求取控制系统在典型输入信号作用下的时间响应， 然后以时间响应为依据直接分析系统的稳定和动态性能。,MATLAB提供了求取系统在典型输入信号作用下时间响应 的函数，如下所示。,离散系统时域分析函数: dstep ( )：求取离散系统的单位阶跃响应。 dimpulse ( )：求取离散系统的单位脉冲响应。 dinitial ( )：求取离散系统的任意 dlsim ( )：求取离散系统的任意输入响应。,连续系统时域分析函数： step ( )：

6、求取连续系统的单位阶跃响应。 impulse ( )：求取连续系统的单位脉冲响应。 initial ( )：求连续系统的零输入响应。 lsim ( )：求取连续系统的任意输入响应。,最大超调量 ：瞬态过程输出响应的最大值超过稳态值的百分比。 延迟时间 ：输出响应第一次到达稳态值的50%所需时间。 峰值时间 ：输出响应第一次达到峰值所需时间。 上升时间 ：第一次达到稳态值时间，或由稳态值的10%上升到90%所需时间。 调节时间 ：当输出响应与稳态值之间误差达到规定的允许值的5%或2%，且以后不再超出此值所需的时间。,1.典型输入信号及动态性能指标 控制系统典型输入信号有阶跃函数、斜坡函数及脉冲函

7、数。 而对于稳定的系统，通常用描述系统的阶跃响应特征的一些 参数来品价其性能的好坏。控制系统动态性能指标有：,2.控制系统稳态性能指标,通常用来描述控制系统稳态性能的指标是稳态误差。稳态 误差指稳定的系统在扰动作用下，经过过渡过程后进入稳 态时的误差。即：,典型输入信号作用下系统稳态误差,表中0型、1型、2型系统是根据系统开环传递函数Gk（s）中所含积分环节的个数定义的。Kp为系统的静态位置误差系数，Kv为系统的静态速度误差系数、Ka为系统的静态加速度误差系数，分别定义为：,5.2.2常用时域分析函数的使用方法,1. step函数 求取连续系统的单位阶跃响应函数step( )使用格式如下：st

8、ep(sys) %求取系统sys的单位阶跃响应曲线。 step(sys, Tf) %求取系统sys从0时刻起到Tf时刻止的单位阶跃响应曲线。 step(sys，T) %求取系统sys的单位阶跃响应曲线仿真，T为选定的仿真时间向量。 此外，step函数还可以使用带返回参数的调用格式，具体如下： Y,T=step(sys) %不绘制系统阶跃响应曲线，返回T为系统自动化生成的时间向量，Y为对应T时刻的系统阶跃响应输出值向量。 Y= step(sys,T) %T为指定的时间向量，Y为在T时刻系统的返回值。,2. impulse函数 用来求取连续系统的单位脉冲响应的函数impulse ( )使用格式如下

9、： impulse(sys) %求取系统sys的单位脉冲响应曲线。 impulse(sys, Tf) %求取系统sys从0时刻起到Tf时刻止的单位脉冲响应曲线。 impulse(sys，T) %求取系统sys的单位脉冲响应曲线，T为选定的仿真时间向量。,此外，impulse函数也可以使用带返回参数的调用格式，具体如下： Y,T=impulse(sys) %不绘制系统脉冲响应曲线，返回值T为系统自动化生成的时间向量，Y是对应T时刻的系统单位脉冲输出响应的值所组成的行向量。 Y= impulse(sys,T) %T为指定的时间向量，Y为在T时刻系统脉冲响应的值所组成的行向量。,3. initial

10、函数 initial()函数可用来求取连续系统零输入的响应。调用格式：initial(sys,X0) %求取系统sys在初始状态X0下的零输入响应。 initial(sys,X0) %求取系统sys在初始状态X0下的零输入响应。 initial(sys,X0,Tfinal) %求取系统sys在初始状态X0下的零输入响应，Tfinal为仿真终止时刻。 initial(sys,X0,T) %T为一时间向量，按指定的仿真时间T求取系统sys在初始状态X0下的零输入响应。Y,T,X = initial(sys,X0) %求取系统的零输入响应值，范围参数Y为系统输出，T为仿真时间向量，X为对应时间T的状

11、态变量矩阵。,lsim函数可用来求取连续系统任意输入的响应。调用格式： lsim（sys，u，T）%u为输入，T为对应时间向量。 如果系统用状态方程描述的，可采用如下调用格式： lsim（sys，u，T，X0）%X0为状态方程描述的系统初始状态。,4. lsim函数,Y = lsim(sys, u, t) %返回值Y是在输入u作用下，系统t时间的输出值向量。并且不绘制图形。 Y, t, x = lsim(sys, u, t, x0) %返回值Y是在初始状态x0和输入u作用下，系统t时间的输出值向量，x是对应的状态矩阵。并且不绘制图形。,此外，lsim函数也可以使用带返回参数的 调用格式：,对于

12、离散系统的调用格式与step、impulse类似，可以通过“help+函数名”命令来察看函数命令的帮助信息。,解：求解命令如下： wn=6; kesi=0.4; num=wn2; den=1 2*kesi*wn wn2; sys=tf(num,den); t=0:0.02:5; step(sys,t);%绘制闭环系统的阶跃响应曲线 title(二阶系统单位阶跃响应) xlabel(t/s) ylabel(阶跃响应) grid,【例】已知某系统闭环传递函数为：,试求系统单位阶跃响应曲线。,【例】在同一坐标系下，绘制二阶系统、具有零点的二阶 系统和三阶系统的单位阶跃响应曲线，对比分析它们的性能。

13、系统的闭环传递函数分别为：,解：求解的MATLAB命令如下： num1=3; den1=conv(1,0.8+1.6*j,1,0.8-1.6*j); %系统1的分母多项式 num2=conv(num1,0.5,1); den2=den1; %系统2具有零点的二阶系统分母多项式 num3=num1; den3=conv(den1,0.5,1);%系统3的三阶系统的分母多项式 sys1=tf(num1,den1); sys2=tf(num2,den2); sys3=tf(num3,den3); step(sys1,k) %系统1的阶跃响应为黑色实线 hold on step(sys2,b:) %系

14、统2的阶跃响应为蓝色点连线 step(sys3,r-) %系统2的阶跃响应为蓝色虚线 legend(二阶系统,具有零点的二阶系统,三阶系统) %添加图例 title(不同系统阶跃输入响应) xlabel(时间/秒) ylabel(幅值) grid,例题：5.5-5.6-5.7,例题：5.5-5.6-5.7,仿真时间t的选择： 对于典型二阶系统根据其响应时间的估算公式 可以确定。 对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试探的方法，把t选大一些，看看响应曲线的结果，最后再确定其合适的仿真时间。 一般来说，先不指定仿真时间，由MATLAB自己确定，然后根据结果，最后确定合适的仿真时间。 在指定

15、仿真时间时，步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度，一般不易取太大。,习题,第三节 控制系统的频域分析,频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：,一、频域分析的一般方法,常用的频域分析法,极坐标频率特性曲线 对数频率特性曲线 幅相频率特性曲线简称幅相曲线， MATLAB提供了绘制这几种曲线的函数，分别是nyquist和bode、nichols。 。,奈奎斯特稳定判据,Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统的稳定性。 系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线

16、按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数R ，等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。,开环频域性能指标,幅值裕度是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值裕度，则等于：-20*log10(g)。 相角裕度是当开环增益为1时，相应的相角与180度角的和。,二、奈奎斯特图（极坐标图）,对于频率特性函数G(jw)，给出w从负无穷到正无穷的一系列数值，分别求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw) 为横坐标， Im(G(jw) 为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图。,nyquist() 函数的用法：,