《2019版高考文数一轮复习课件：第六章数列第四节数列求和 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考文数一轮复习课件：第六章数列第四节数列求和 （28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 数列求和,总纲目录,教材研读,1.求数列的前n项和的方法,考点突破,2.常见的裂项公式,考点二 裂项相消法求和,考点一 错位相减法求和,考点三 分组转化法求和,1.求数列的前n项和的方法 (1)公式法 (i)等差数列的前n项和公式 Sn= = na1+ . (ii)等比数列的前n项和公式 当q=1时,Sn= na1 ;,教材研读,当q1时,Sn= = . (2)分组转化法 把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列 之和,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是
2、对等差数列求和公式 的推导过程的推广.,2.常见的裂项公式 (1) = - ; (2) = ; (3) = - .,答案 C Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5 +(2n-1)= + =2n+1-2+n2.故选C.,C,2.已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22 -S31的值是 ( ) A.13 B.-76 C.46 D.76,答案 B S15=1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,B,S22=1-5+9-13+
3、(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22 -S31=29-44-61=-76.故选B.,3.数列 的前n项之和为 ,则n= .,3.数列 的前n项之和为 ,则n= .,答案 99,解析 由题意得 + + + = - + - + - + -=1- = ,令 = ,解得n=99.,99,4.已知数列an的前n项和为Sn,且an=n2n,则Sn= .,(n-1)2n+1+2,典例1 (2015北京朝阳一模)设数列an的前n项和为Sn,且a1=4,an+1=Sn,n N*.
4、 (1)写出a2,a3,a4的值; (2)求数列an的通项公式; (3)已知等差数列bn中,有b2=a2,b3=a3,求数列anbn的前n项和Tn.,考点一 错位相减法求和,考点突破,所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+an-1bn-1+anbn =0+124+225+326+(n-2)2n+1+(n-1)2n+2, 2Tn=0+125+226+327+(n-2)2n+2+(n-1)2n+3, -,得-Tn=24+25+26+27+2n+2-(n-1)2n+3 = -(n-1)2n+3 =-16-(n-2)2n+3. 所以Tn=16+(n-2)2n+3.,方法技巧 (1)一般地,
5、如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前 n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列bn的 公比,然后作差求解; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.,1-1 已知数列an是公差大于零的等差数列,数列bn为等比数列,且a1 =1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.,考点二 裂项相消法求和,典例2 (2016北京东城二模)已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,其前 n项和为Sn
6、. (1)求an的通项公式及Sn; (2)令bn= (nN*),求数列bn的前8项和.,解析 (1)设等差数列an的公差为d, 由a5+a7=26,得a6=13, 又a6-a3=3d=6,故d=2. 所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1. 所以Sn= n= n=n2+2n. (2)由bn= ,得bn= = = - . 设bn的前n项和为Tn, 则T8= + + + =1- = . 故数列bn的前8项和为 .,易错警示 利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前 面的系数,使裂开的两项之差
7、和系数之积与原通项相等.,2-1 (2018北京海淀高三期中)已知等比数列an满足a1a2a3=8,a5=16. (1)求an的通项公式及前n项和Sn; (2)设bn=log2an+1,求数列 的前n项和Tn.,解析 (1)设等比数列an的公比为q. 因为a1a2a3=8,且a1a3= ,所以 =8,解得a2=2, 又因为a5=a2q3=16,所以q3=8,解得q=2,所以a1=1. 所以an=2n-1(nN+),所以Sn= = =2n-1. (2)因为an+1=2n,所以bn=log2an+1=n, 所以 = = - . 所以数列 的前n项和Tn= + + =1- =.,典例3 (2017北
8、京西城一模)已知an是等比数列,a1=3,a4=24.数列bn 满足b1=1,b4=-8,且an+bn是等差数列. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)求数列bn的前n项和.,考点三 分组转化法求和,解析 (1)设等比数列an的公比为q. 由题意得q3= =8,解得q=2. 所以an=a1qn-1=32n-1. 设等差数列an+bn的公差为d. 由题意得d= = =4. 所以an+bn=(a1+b1)+(n-1)d=4n. 从而bn=4n-32n-1(n=1,2,). (2)由(1)知bn=4n-32n-1. 设bn的前n项和为Sn.,规律总结 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组转化法求an 的前n项和. (2)对于通项公式为an= 的数列,其中bn,cn是等比数列或 等差数列,可采用分组转化法求和. (3)采用分组转化法求和是将所求数列和分解转化为若干个可求和的新 数列的和或差,从而求得原数列的和,这就需要通过对数列通项结构特 点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化.,3-1 (2016北京海淀二模)已知等差数列an的通项公式为an=4n-2,各项 都是正数的等比数列bn满足b1=a1,b2+b3=a3+2. (1)求数列bn的通项公式; (2)求数列an+bn的前n项和Sn.,
