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1、E第三芒“泰勒级数、问题的引入、泰勒定理将函数展开成泰勤级数、典型例题、小结与思考H史010E|一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达?设函数万(a)在区域D内解析-zol-r为D内以z为中心的任一圆周它与它的内部全包吴于D,记为R仁水LCK甫代意点DET1|飞E由柯西积分公式,有T(a)=元下ECJac,其中KK取正方向.因为积分变量4取在圆周K上,点z在一的内部J川|区驯动日所以5岫岩基山一白15则切2161是(20丞31中目3Py引.伟2于是个(a)岫桃命余a乏:了(6)(z_z0)d畜_|wE由高阶导数公式,上式又可写成N)f(a=/20(z_zRv(z)0其中Rv(a)
2、-之脑271。伟伟(z一zo)d答0若limRv(z)=0,口(a0)可知在K内F(a)=宁人-Co=0(2门口汀w即丫(s)在X内可以用常级数来表示_刘|_刃命订别6一z04是与积分变量6无关的量且0SEgL(a)在九(KC加内解析,则在R上连续,囚此(4)在KK上也连续f(4)在KK上有界,伟即存在一个正IRv(z)英3孟1412TE|常数M,在K上|F(4).t(z_z。)慢恤一蓟5唰s一20间IQ5JHXg“1置髻鲈嘴盯二zWwlimgq“=0一一lmRv(z)=0在K内成立,Wn口00)从而在K内/(z)=Z翼绶屿z_唰0“个(a)在z的嗲勤尼开式,泰勒级数圆周万的半径可以任意增大,只要K在D内成立.如果0到DD的边界上各点的E最短距离为4,那末(z)在0的泰勒展开式在z一z4内成立.但丫(z)在zo的泰勒级数的收敛半径R至少等于4,因为口漾足lz-zlQ.定理wW二、泰勒定理定理设(z)在区域D内解析,zo为口内的一点,d为z到D的边界上各点的最短距离,那未当|s-z0X时打z)=c08哈成立,1泰勒展开式泰勒级数其c-二F0l2,国
