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1、一、直线与平面平行,平行关系,1. 几何条件：若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面互相平行。,D,d,EFABC面上AD线 则EFABC,二、平面与平面平行,1. 几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。,g,e,f ,a,b,c,a,b,c,e,f,g,m,n,m,n,X,O,H,P,R,M,N,B,F,G,E,ABCEFG,n 1,例 已知 ：MN、PQ决定的平面与平面ABC平行，试补全三角形ABC的正面投影。,q,p,n,m,q,p,n,m,a,c,b,a,b,1,X,O,做图步骤：,作n1/bc,n2/ba,2,一般位置平面与
2、特殊位置平面相交,一平面有积聚投影,过MN 作平面Q 垂直于V 投影面,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图,一般位置直线与一般位置平面相交,无积聚投影,过MN作平面P垂直于H投影面,以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图,1,2,以正垂面为辅助平面求线面交点,QV,步骤： 1、 过EF作正垂平面Q。,2、求Q平面与ABC的交线。,3、求交线与EF的交点K。,两一般位置平面相交 判别可见性,f,e,d,c,b,a,c,b,a,d,f ,e,QH,RH,n,m,n,m,1(2),2,1,3,3(4),4,方法1：,辅助平面法,H,定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水
3、平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,直角定理,定理2（逆）：,若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影,直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。,则直线垂直平面 （ 根据直角定理）,例题 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面,l,直线、平面的相互关系综合题,过K点作一直线KL与平面ABC平行与直线EF相交,e,f,k,b,a,c,e,f,k,b,c,a,l,m,n,m,n,直线、平面的相互关系综合题,过K点作一直线KL与平面ABC平行与直线EF相交。,e,f,k,b,a,c,e,f,k,b,c,a,l,l,k1,l1,例题 试过定点A作直
4、线与已知直线EF正交。,分析过已知点A作平面与已知直线EF垂直交于点K，连接AK，AK即为所求。,作图过程,a,a,X,c,b,b,c,O,w,b,a,c,b,c,a,a,b,b,a,c,c,a,b,b,b,a,a,c,c,c,一框两线平行面，线框显实形,直线竖或横。,两框一线垂直面，两框类似形,斜线积聚成。,三框无线一般面，位置最分明。,特点记忆,取属于平面的点,取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线,取属于平面的直线,取属于平面的线，要先取自属于该平面的已知点,例题：已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H面投影。,解1,d,e,e,解2,e,e,d,例题 已知直线E
5、F在平面ABC上，求其未知投影。,c,a,b,e,s,f,k,16,投影变换 综合作图问题,如何求点到直线的距离呢？,用变换投影面法，简单！,将直线变换为投影面垂直线。,k1,b1,a1,k2,a2(b2),(t2),t1,t,t,求K点到直线AB之 距离及投影。,例题,如何求两平面的夹角?,两平面的交线,将两平面的交线变换成投影面垂直线,求具有公共边BC的ABC和BCD的夹角。,a2,d2,a1,d1,c1,b1,例题,思考题 如何求两直线AB与CD间的距离？,V,提示,例题:已知直线AB和CD,其距离为20mm,求CD的V面投影。,a1(b1),c1(d1),c,d,四棱柱体表面定线,b,
6、b,a,c,d,定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:利用积聚性,2、三棱锥体表面上取点,a,a“,b,b“,c,(c),S,S“,k,k,k“,1,1,一般位置表面上的点采用辅助线的方法作图。但要判断可见性。,(N),特殊位置表面上的点 利用平面的积聚性,三棱锥体的特殊位置表面上点的求法,特殊位置表面上的点利用表面的积聚性作图。,(N),s,b,s,a,a,c,b,（n）,s,c,a,c,b,( ),圆柱体表面定线,定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:利用积聚性,圆锥体表面定线,a,c,b,定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:作辅助素线或辅助维圆,例：作四棱柱被截切后的投影。,a,
7、(b),b,a,a“,b“,分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。,B,A,完成后的投影图,例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,3,2,1,(4), 投影分析, 求截交线, 分析棱线的投影, 检查,例：已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。,分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。 侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。 正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。
8、水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。,1, 1, 2“, 2,(3) 2, 3,3“ ,4 (5), 4, (4“),(5“) ,5 ,6(7) ,7“,6“,6 ,7 ,8 (9), 8“,9“ , 8,9,10 (11),10“,11“ ,10,11,1“,a,b,a “,b “,a (b),完成后的投影图,a,l,k,c,d,a,k(l),c(d),l“,a“,k“,c“,（1）先求特殊点。,（2）再求一般点。,（3）依次光滑连接各点。,d“,具体步骤如下：,圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。,两圆柱相交,例：求两圆柱正交的相贯线,分析相贯线的三面投影,1“
9、 (2 “) ,。例：求两圆柱正交的相贯线。,a ,b ,a,b , c“,d“, c (d), c,d ,1,2, 1, 2,作图步骤：,（1）求特殊点： 最左点A 和最右点B; 最前点C和最后点D 。,（2）求一般点： 任取两点1、2,求侧面投影1、2，然后作出正面投影1、2 。,(3) 光滑连相贯线,a“ (b“) ,完成后的投影图,相贯线 的简化 画法,两圆柱体直径相等且轴线垂直相交,相贯线为两个相同 的椭圆，椭圆平面 垂直于两轴线所决 定的平面。,两正交圆柱相贯线的变化趋势,例： 求圆柱和圆锥相贯线的投影。,作图： 1 、求特殊点A、B、C、D点. 2 、求一般点作辅助水平面。 3 、连相贯线，判别可见性。,a , b,a“, a, b“,(b) ,d, c,c (d) ,c“,d“ , (1),(2),1“,2“ ,1（2） ,3“,4“ ,3, 4,3 (4 ),完成后的相贯线三视图,例图,思考：已知两轴正交圆柱孔的水平和侧面投影，作出其相贯线的正面投影。,分析：两圆柱孔是等直径孔，它们的相贯线为椭圆。两回转体的轴线都平行于正面，相贯线的正面投影为直线。,图例：,
