计算机中的逻辑电路

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1、计算机组成原理,主编：杨光煜,第3章计算机中的逻辑电路,本章从功能角度介绍组合电路及时序电路的基本逻辑单元电路，介绍分析和设 计逻辑电路的基本工具（逻辑代数）和方法。并力求使学生在完成本章学习后达到 两个目的： 在给出功能要求（文字说明或逻辑函数）的前提下，能用基本逻辑单元电路完成给定功能的电路设计。 在给出逻辑电路的前提下，能写出它的逻辑表达式，并大致描述其功能。要求学生重点把握基本门电路、触发器及寄存器的基本功能，并在此基础上进 行电路的分析与设计。 3.1 逻辑代数 3.2 门电路 3.3 逻辑电路的分析与设计 3.4 触发器及寄存器 3.5 小结,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数逻辑

2、代数最初是由英国数家布尔（GBoole）首先提出来的，也被称为布尔代数。后来香农（Shanon）将布尔代数用到开关矩阵电路中，因而又称为开关代数。逻辑代数的变量称为逻辑变量。逻辑变量与普通代数变量不同，逻辑变量的取值只有“1”和“0”，也就是说逻辑电路中只有两种逻辑状态。这里的“1”和“0”可以由数字系统中的电平的高低、开关的断通和信号的有无来表示。因而，它们已没有数量大小的概念，只表示两种不同的逻辑状态。,3.1 逻辑代数,3.1.1 基本逻辑运算与逻辑函数逻辑代数中最基本的运算为“与”、“或”和“非”运算。逻辑运算又被称为逻辑关系。逻辑变量通过逻辑关系组成逻辑函数。相应地，有“与函数”、“

3、或函数”和“非函数”三种基本逻辑函数。 1“与”逻辑： 2“或”逻辑： 3“非”逻辑：,3.1 逻辑代数,三种运算对应的真值表：把所有逻辑变量和逻辑函数的值以表格的形式表示出来，称为真值 表。真值表的左半部分是所有可能的变量取值的组合，右半部分是对应 变量取值的函数值。真值表对于分析逻辑关系、简化逻辑运算都是非常 有用的。二变量的与逻辑真值表如下图所列，它清楚地表明了与逻辑关 系。,3.1 逻辑代数,3.1.2 复合逻辑运算与复合逻辑函数 1与非逻辑 2或非逻辑 3异或逻辑 4同或逻辑与非、或非逻辑运算的真值表 同或、异或逻辑运算的真值表,3.1 逻辑代数,3.1.3 基本定律如普通代数有其运

4、算规律一样，逻辑代数运算也有其自身的规律。这些规律有的与普通代数相同，有些是其自身所特有的。 1公理数字代数中，变量的取值只有“1”和“0”二值，根据逻辑运算定义，下面的式子是很容易理解和记忆的：A0=0 A1=A A+0=A A+1=1 AA=A A+A=A A =0 A+=1 =A 2定律逻辑代数运算的规律，见下面的表。这些定律有些是公理，根据逻辑代数的性质就可以得出来，而有些则需要证明。证明的方法可以是把所有逻辑变量和函数列成真值表，证明等式成立。其中反演定律也称为德摩根定理，是个非常有用的公式。,3.1 逻辑代数,逻辑代数的一般定律,3.1 逻辑代数,3代入规则任何一个含有变量A的逻辑

5、等式中，所有变量A都可代之以另一个逻辑函数Y，等式仍 然成立，这就是代入规则。注意，在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守普通代数一样的运算优先顺序，即先算 括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。 【例3-1】 用代入规则证明德摩根定理也适用于多变量的情况。 解：已知二变量的德摩根定理为： 以及现以（B+C）代入左边等式中B的位置，同时以（BC）代入右边等式中B的位置， 于是得到 为了简化书写，除了乘法运算的“”可以省略以外，对一个乘积项或逻辑式求反时，乘 积项或逻辑式外边的括号也可以省略。如,3.1 逻辑代数,4反演规则对一个原函数求反函数的过程叫做反演。反演规则是说将原逻辑函数中所有的“”变

6、成“+”，“+”变成“”；0换成1；1换成0；原变量换成反变量，反变量换成原变量。这样所得到的新逻辑函数就是其反函数，或成为补函数。应用反演规则可以很方便地求出反函数。在使用反演规则时还需注意：仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算有优先顺序；再有，多个变量上的非号应保持不变，或视为一个子函数再进行反演。【例3-2】 已知Y = A（B + C）+C D，求解：依据反演定律可直接写出,3.1 逻辑代数,5对偶规则如果把任何一个逻辑表达式Y中的“”变成“+”，“+”变成“”；0换成1；1换成0，则得到一个新的逻辑式Y 这个Y叫Y的对偶式。例如：Y = A（B+C），则Y=A+BC对偶规则是指：

7、如果两逻辑表达式相等，则它们的对偶式也相等。为了证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些情况下证明它们的对偶式相等更容易。前面给出的公式中许多皆互为对偶式，所以，对偶规则在证明和化简逻辑函数中被广泛应用。,3.1 逻辑代数,3.1.4 逻辑表达式与真值表之间的相互转化 1从逻辑表达式到真值表在转化时，先将所有变量的取值组合列在真值表的左半部分，为确保列出全部组合，一般以二进制的计数顺序填写；再将所有取值组合中的变量值逐一代入逻辑式求出函数值，填在表的右半部分相应行上，即可得到真值表。 【例3-3】 已知逻辑函数 解：将A、B、C的各种取值逐一代入Y式中计算，将计算结果

8、列表，即得到如a真值表：a 有时为了运算方便， b往往在表中借助中间函数列。如b表：,3.1 逻辑代数,2从真值表到逻辑表达式【例3-4】 已知一个判别函数的真值表如a表所示，试写出它的逻辑函数式。 解：由真值表可见，只有当A、B、C三个输入变量取值为以下三种情况时，Y等于1： A=0、B=1、C=1A=1、B=0、C=1A=1、B=1、C=0而当A=0、B=1、C=1时，必然使乘积项BC等于1；当A=1、B=0、C=1时，必然使乘积项AC等于1；当A=1、B=1、C=0时，必然使乘积项AB等于1；而只要这三组取值有一组满足，Y就为1。因此Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和a 即,3.1 逻

9、辑代数,通过【例3-4】可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般步骤： 找出真值表中使逻辑函数Y为1的那些输入变量取值的组合。 每组输入变量取值的组合应对应一个乘积项，其中取值为1的用原变量表示，取值为0的用反变量表示。 将这些乘积项相加，即得到函数Y的逻辑表达式。,3.1 逻辑代数,3.1.5 逻辑函数的标准形式最常见的标准形式有最小项之和和最大项之积两种。它们都有这样的特点：逻辑函数的每一项中都包含全部变量，而且每一项中每个变量以原变量或反变量的形式出现一次。式中的每一项可以是积项，也可以是和项。下面给出两种逻辑函数的标准形式。即逻辑函数的最小项之和形式和逻辑函数的最大项之积形式。 1最小项

10、之和形式在逻辑函数中若m为包含n个因子的乘积项，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。例如，A、B、C三个变量的最小项共有8个（即个23）分别为所以说n变量的最小项应有 个。,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数,当乘积之和表达式中的所有乘积项都是最小项时，该式就为最小项表达式。以下给出三变量和四变量的最小项表达式的例子：最小项表达式与真值表之间的一一对应关系可总结为： 真值表中的每一行取值对应一个最小项，三变量最小项与四变量最小项分别见下页表（a）与(b)。 最小项表达式中包含的最小项对应于真值表中函数值为“1”的行。 任何逻辑函数都有唯一的最小项表达

11、式，任何形式的函数表达式都可以写成最小项表达式形式。,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数,2最大项之积形式,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数,3.1.6 逻辑表达式的化简我们知道，一个逻辑函数可以写成多个不同形式的逻辑表达式，即使同一种形式的表达式的繁简程度也不尽相同。简洁的逻辑式，不仅逻辑关系明显，而且可能以最少的元件构成逻辑电路实现这个逻辑函数。所以，往往需要对逻辑函数进行化简。化简的目的是使逻辑函数中的项式最少，每一项包含的因子也最少。下面介绍两种常用的化简方法：代数化简法和卡诺图化简法。 1逻辑代数化简法逻辑代数化简法就是利用逻辑

12、代数的基本公理和定律对给定的逻辑函数表达式进行化简。常用的逻辑代数化简法有吸收法、消去法、并项法、配项法。,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数,2卡诺图化简法卡诺图化简法是借助于卡诺图的一种几何化简法。代数化简法技巧性强，化简的结果是否最简不易判断；而卡诺图化简法是一种肯定能得到最简结果的方法，但是它只适用于变量较少的情况。 1）卡诺图的结构逻辑相邻：若两个乘积项（或两个和项）只有一个变量取值相反，其它变量都相同，则这两项可以合并为一项。这样的项称为逻辑相邻项。例如： 卡诺图是变形的真值表，用方格图表示自变量取值和相应的函数值。其构造特点是：自变量取值按循环码排列，使卡诺图中任意两个相邻的方格

13、对应的最小项（或最大项）只有一个变量不同，从而将逻辑相邻项转换为几何相邻项，方便相邻项的合并。 下图分别给出了三变量、四变量和五变量的卡诺图。,3.1 逻辑代数,3.1 逻辑代数,2）在卡诺图上合并最小项（或最大项）卡诺图上任意两个相邻的最小项（或最大项）可以合并为一个乘积项（或和项），并消去其中取值不同的变量。下图给出了两变量卡诺图中两个相邻项的合并情况。,3.1 逻辑代数,卡诺图中四个相邻项也可以合并为一项，并消去其中两个取值不同的变量。图3-9给出了两变量卡诺图中四个相邻项的合并情况。,3.1 逻辑代数,卡诺图中八个相邻项可以合并为一项，并消去其中三个取值不同的变量。图3-10给出了五变

14、量卡诺图中八个相邻项合并的情况，也给出了五变量卡诺图中镜像相邻的最小项合并的情形。,3.1 逻辑代数,卡诺图中合并的结果表示：圈“1” 将最小项合并为乘积项，所有卡诺圈对应的乘积项之和就是最简与或式。乘积项的书写规则：卡诺圈对应的自变量取值为“1”时，则该自变量在乘积项中取原变量形式；取值为“0”时，为反变量形式。 圈“0”对应于最大项的合并，每个圈中的最大项合并为一个和项，所有卡诺圈对应的和项之积就是最简或与式。和项中的书写规则：取值为“0”的自变量写成原变量形式，取值为“1”的自变量写成反变量形式。 说明：卡诺图上圈“1”的原则 圈的个数最少。 每个圈尽可能大。为了防止化简后的表达式中出现

15、冗余项，必须保证卡诺图中的每个圈中至少有一个“1”（或“0”）是没有被其它圈圈过的。,3.1 逻辑代数,3）卡诺图化简逻辑表达式举例 【例3-7】 用卡诺图化简F(A,B,C,D)=m(0,3,9,11,12,13,15)，写出最简与或式。 解：步骤：A.画出四变量卡诺图；B.填图（将最小项对应的“1”填入卡诺图）；C.圈“1”（先圈孤立的“1”，再圈只有一种合并方式的两个“1”，然后是四个 “1”，）D. 读出（将化简结果读出，写出最简与或式）最简与或式为：,3.1 逻辑代数,【例3-8】 用卡诺图化简函数F(A,B,C,D)=m(1,2,3,4,5,6,7,11)，分别求出最简与或式和最简或与式。,3.2 门电路,用以实现基本逻辑运算和复合逻辑运算的单元电路通称为门电路。基本门电路“与门”、“或门”、“非门”分别对应实现三种基本逻辑运算与、或、非。组合门电路对应实现组合逻辑运算。用基本的门电路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些逻辑电路是构成计算机及其他数字电路的重要基础，门电路的功能可描述如图 ：所有门电路都满足如下特点： 每个单元都有若干个输入端、1个输出端 每端只有两种不同的稳定状态，逻辑“真”或“假”，或称“1”或“0”,