高等代数电子教案(ⅲ)

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1、高等代数（张禾瑞 郝炳新） 电子教案(),韩山师范学院数学与信息技术学院 张君敏,第一章 基本概念,第二章 多项式,第三章 行列式,第四章 线性方程组,第五章 矩阵,第六章 向量空间,第七章 线性变换,第八章 欧氏空间与酉空间,第九章 二次型,第七章 线性变换,7.1 线性映射,7.4 不变子空间,7.2 线性变换的运算,7.3 线性变换和矩阵,7.5 本征值和本征向量,7.6 可以对角化矩阵,7.1 线性映射,学习内容线性映射的定义、线性变换的象与核.,7.1.1 线性映射的定义,设F是一个数域，V和W是F上向量空间.,定义1 设是V 到W 的一个映射. 如果下列条件被满足，就称是V 到W

2、的一个线性映射： 对于任意 对于任意容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： 对于任意 和任意,在中取 ，对进行数学归纳，可以得到： （1） （2）,例1 对于 的每一向量 定义是 到 的一个映射，我们证明，是一个线性映射.,例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每一向量，令 表示向量在平面H上的正射影.根据射影的性质， 是 到 的一个线性映射.,例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向量令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到W的一个线性映射，叫做零映射.,例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意 定义 容易验证，是V 到自身的一个线性映射，这样

3、一个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k = 0，那么就是V 到V的零映射.,例6 取定F的一个n元数列 对于 的每一向量 规定容易验证，是 到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或 上一个线性型.,例7 对于Fx 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是Fx到自身的一个线性映射.,例8 令Ca, b是定义在a, b上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一 规定 仍是a, b上一个连续实函数，根据积分的基本性质，是Ca, b到自身的一个线性

4、映射.,7.1.2 线性映射的象与核,定义2 设是向量空间V到W的一个线性映射, (1) 如果 那么 叫做 在之下的象. (2) 设 那么 叫做 在 之下的原象.,定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间在之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空间在之下的原象是V 的一个子空间.,特别，向量空间V 在之下的象是W 的一个子空间，叫做的象, 记为 即另外，W 的零子空间 0 在之下的原象是V 的一个子空间，叫做的核， 记为 即,定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么 (i) 是满射 (ii) 是单射 证明 论断(i)

5、是显然的,我们只证论断(ii) 如果是单射,那么ker()只能是含有唯一的零向量.反过来设ker() = 0.如果那么 从而所以 即是单射.,如果线性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一个线性映射. 建议同学给出证明.,7.2 线性变换的运算,学习内容加法和数乘、线性变换的积、线性变换的多项式,7.2.1 加法和数乘,令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V 的一个线性变换. 我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设 定义:加法: 数乘: , 那么是V的一个线性变换. 可以证明: 和 都是V 的一个线性变换.,所以 是V的一个线性变换,令 ，那么对于任意 和任意

6、,所以k是V的一个线性变换.,线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意 ,以下等式成立:,(1),(2),令表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意 有：,(3),设 的负变换指的是V到V的映射容易验证，也是V的线性变换，并且,（4）,线性变换的数乘满足下列算律：,这里k,l是F中任意数，,是V的任意线性变换.,定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.,7.2.2线性变换的积,设 容易证明合成映射 也是V上的线性变换，即 我们也把合成映射 叫做与的积，并且简记作 .除上面的性质外，还有：,对于任意 成立。,证明 我们验证一下等式（

7、9）其余等式可以类似地验证。设 我们有,因而（9）成立。,7.2.3 线性变换的多项式,线性变换的乘法满足结合律： 对于任意 都有,因此,我们可以合理地定义一个线性变换的n次幂,这里n是正整数。,我们再定义,这里表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。,这个线性变换叫做当 时f (x)的值，并且记作,（1）因为对于任意 我们也可将 简记作 ，这时可以写,（2）如果 并且,那么根据L(V )中运算所满足的性质,我们有,7.3 线性变换和矩阵,学习内容线性变换的矩阵、坐标变换、矩阵唯一确定线性变换、线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵,7.3.1 线性变换

8、的矩阵,现在设V是数域F上一个n维向量空间，令是V的一个线性变换，取定V的一个基 令,设,N 阶矩阵A 叫做线性变换关于基 的矩阵. 上面的表达常常写出更方便的形式:,(1),7.3.2 坐标变换,设V是数域F上一个n 维向量空间, 是它的一个基, 关于这个基的坐标是 而()的坐标是 问: 和 之间有什么关系?,设,因为是线性变换，所以,（2）,将（1）代入（2）得,最后，等式表明， 的坐标所组成的列是,综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：,定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，是V的一个线性变换，而关于V的一个基 的矩阵是,如果V中向量关于这个基的坐标是 ，而()的坐标是 ，,

9、那么,例1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令是将 的每一向量旋转角的一个旋转. 是 的一个线性变换.,所以关于基 的矩阵是,设 ，它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么,我们有,7.3.3 矩阵唯一确定线性变换,引理7.3.2 设V是数域F上一个n 维向量空间， 是V的一个基，那么对于V 中任意 n个向量 ，有且仅有 V 的一个线性变换，使得:,我们证明，是V的一个线性变换。设,那么,于是,设 那么,这就证明了是V的一个线性变换。线性变换显然满足定理所要求的条件：,如果是V的一个线性变换，且,那么对于任意,从而 ,定理7.3.3 设V 是数域 F 上一个n 维

10、向量空间，是V 的一个基，对于V 的每一个线性变换，令关于基 的矩阵A与它对应，这样就得到V 的全体线性变换所成的集合 L（V）到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一个双射，并且如果 ,而 ， 则(3) (4),证 设线性变换关于基 的矩阵是A。那么 是 的一个映射。,是F上任意一个n阶矩阵。令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反过来，设,显然关于基 的矩阵就是A. 这就证明了如上建立的映射是 的双射.,设 我们有,由于是线性变换, 所以,因此,所以关于基 的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然的。,推论7.3.4 设数域F上n 维向量空间V 的一个线性变换关于V 的一个取定的

11、基的矩阵是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 关于这个基的矩阵就是 .,我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意义加以说明:,1. 取定n 维向量空间V的一个基之后, 在映射: 之下, (作为线性空间),研究一个抽象的线性变换, 就可以转化为研究一个具体的矩阵. 也就是说, 线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.,2. 我们知道, 数域F上一个n 维向量空间V 同构于 , V上的线性变换,转化为 上一个具体的变换:,也就是说, 线性变换都具有上述形式.,7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵,定义：设 A，B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵. 如果存在F上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式 成立，那么就说B与A相似，记作： .,n阶矩阵的相似关系具有下列性质：,