逻辑代数与硬件描述语言基础

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1、2 .逻辑代数与硬件描述语言基础,2.1 逻辑代数2.2 逻辑函数的卡诺图化简法2.3 硬件描述语言Verilog HDL基础,教学基本要求,1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式 和规则。,3、熟悉硬件描述语言Verilog HDL,2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法；,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.1 逻辑代数,2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法,2.1.2 逻辑代数的基本规则,2.1 逻辑代数,逻辑代数是1854年问世的，早年用于开关和继电器网络的分析、化简； 随着半导体器件制造工艺的发展，各种具有良好开关性能的微电子器件不断涌现，因而逻辑代数已成为分析和设计现代数字逻

2、辑电路不可缺少的数学工具。 逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用它们对数学表达式进行处理，可以完成对逻辑电路的化简、变化、分析和设计。,1、基本公式,基 本 定 律,结合律,交换律,分配律,反演律 摩根定律,0-1律,互补律,重叠律,还原律,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,2、常用公式,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,吸收律,常用 恒等式,3、基本公式的证明,列出等式、右边的函数值的真值表,(真值表证明法),2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.1.2 逻辑代数的基本规则,1、代入规则,规则：在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式

3、仍然成立。,例如：在B(AC)BABC中， 将所有出现A的地方都用函数 EF 代替，则等式仍成立， 即得：,扩展：摩根定理对任意多个变量都成立。,若取LCD代替等式中的A，得：,例如：二变量表示的摩根定理,四变量,2. 反演规则：,在一个逻辑式L中,若将其中所有的“+”变成“”，“”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作： 。,在使用反演规则时需注意遵守以下两个原则： “先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序； 不属于单个变化量上的非号应保留不变。,2.1.2 逻辑代数的基本规则,例：试求 的非函数。,【解】按

4、照反演定理，得：,0-1律,例：试求 的非函数。,【解】按照反演定理，得：,不属于单个变化量上的非号应保留不变,2.1.2 逻辑代数的基本规则,例: 逻辑函数 的对偶式为,3. 对偶规则：,当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律,对偶式：在一个逻辑式L中,若将其中所有的“+”变成“”，“”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：L。,例：,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,由逻辑状态表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂；若经过简化，则可使用较少

5、的逻辑门实现同样的逻辑功能，从而可节省器件，降低成本，提高电路工作的可靠性。利用逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。,“或-与”表达式,“与非-与非”表达式,“与-或-非”表达式,“或非或非” 表达式,“与-或” 表达式,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,1、逻辑函数的最简与-或表达式,在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数 最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。,2、逻辑函数的化简方法,化简的主要方法：公式法（代数法）图解法（卡诺图法）,代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,2.1.3

6、 逻辑函数的代数法化简,化简,（1）并项法,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,（2）吸收法,A+AB = A(1+B) = A,利用A+AB = A消去多余的项AB。,吸收,化简,【解】,吸收,吸收,化简,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,（2）吸收法,A+AB = A(1+B) = A,利用A+AB = A消去多余的项AB。,吸收,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,化简,吸收,吸收,吸收,吸收,（2）吸收法,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,（3）消去法（消元法）,化简,吸收,吸收,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,（3）消去法（消元法）,化简,吸收,吸收,（4）消项法,化简,吸收,吸收,吸

7、收,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,（5）配项法,化简,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,化简,（5）配项法,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,（5）配项法,化简,吸收,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,（5）配项法,化简,例2.1.7 化简,解:,例2.1.8 已知逻辑函数表达式为,， 要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图； （2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。 解：,解：,3、逻辑函数的最简与或表达式,用 “与非”门构成基本门电路,(1) 应用“与非”门构成“与”门电路,由逻辑代数运算法则：,为什么不用一个单一的非门电路？,思考

8、？,为什么此两输入端要连接在一起？,（1）如果悬空，虽为高电平，但容易受外来电磁波等干扰。,（2）如果接地，则始终为低电平，则会控制输入端。,解决办法：（1）可以接电源，使其为高平；（2）并联使用。,为了使器件的类型最少。,存在的问题：,3、逻辑函数的最简与或表达式,用 “与非”门构成基本门电路,(2)应用“与非”门构成“或”门电路,(1) 应用“与非”门构成“与”门电路,由逻辑代数运算法则：,由逻辑代数运算法则：,(3) 应用“与非”门构成“非”门电路,(4) 用“与非”门构成“或非”门,由逻辑代数运算法则：,用 “与非”门构成基本门电路,3、逻辑函数的最简与或表达式,作业,2.1.4 (5

9、)(10) 2.1.5(2) 2.1.7(3) 2.1.8,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,2.2.1 最小项的定义及性质,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所 有公式熟练掌握； 2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验 和灵活性； 3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。,代数法化简在使用中遇到的困难：,n个变量X1, X2, , Xn的最小项是n个因子的乘积

10、，每个变量 都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出 现一次。一般n个变量的最小项应有2n个。,1. 最小项的意义,2.2 .1 最小项的定义及其性质,三个变量的所有最小项的真值表,2、最小项的性质,（1）对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1； （2） 任意两个最小项之积为0； （3） 全体最小项之和为1； （4）具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。,三变量最小项真值表,3、最小项的编号,最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。 将最小项中的原变量用1表示，非（反）变量用0表示。,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,为“与

11、或”逻辑表达式； 在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。,= m7m6m3m5,逻辑函数的最小项表达式：,例2 将,化成最小项表达式,a.去掉非号,b.去括号,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,1、卡诺图的引出,卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。,逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。,三变量,二变量,0000,0001,0011,0010,0100,0101,0111,0110,1100,1101,1111,1110,1000,1001,1

12、011,1010,四变量,2、卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下 左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特 点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,3. 已知逻辑函数画卡诺图,当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中 最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可 用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都 等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。,（ 1）根据状态表画出卡诺图,如:,将输出变量为“1”的填入对应的小方格,为“0”的可不填。,1,1,1,1,（2）根据逻辑式画出卡诺图,如:,1,

13、1,1,1,将逻辑式中的最小项分别用“1”填入对应的小方格。没有出现的最小项，可不填。,如:,注意：如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项，然后再填写。,1,1,1,1,（2）根据逻辑式画出卡诺图,例2 画出下式的卡诺图,2. 填写卡诺图,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,1、化简的依据,2、化简的步骤,用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：,(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。,(1) 将逻辑函数写成最小项表达式,(2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项， 其对应方格填1，其余方格填0。,(3) 合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围

14、圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。,画包围圈时应遵循的原则：,（1）卡诺图化简圈“1”的原则：,每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈1的的个数应为 2i 个；,（1）卡诺图化简圈“1”的原则：,每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈1的的个数应为 2i 个；,每个圈至少包括一个没有被圈过的1；,所有1至少被圈过一次。,（1）卡诺图化简圈“1”的原则：,在所圈的最小项中，变量取值全是0的，在表达式中以反变量的形式出现；变量取值全是1的，在表达式中以原变量的形式出现；变量取值既有0也有1的，在表达式中不出现。,所圈的2i个相邻的最小项，可以消去i个变量取值既有0

15、也有1的变量。,例：化简下列逻辑函数。,(1) L=A,B,C(1,2,5,7),（2）合并最小项规则,（2）合并最小项规则,例：化简下列逻辑函数。,解：,(a)将取值为“1”的相邻小方格圈成圈，,(b)所圈取值为“1”的相邻小方格的个数应为2n，(n=0,1,2),（3）步骤： 卡诺图合并最小项写出最简“与或”逻辑式,解：,三个圈最小项分别为：,合并最小项,写出简化逻辑式,卡诺图化简法：保留一个圈内最小项的相同变量，而消去相反变量。,（3）步骤： 卡诺图合并最小项写出最简“与或”逻辑式,解：,写出简化逻辑式,多余,例. 应用卡诺图化简逻辑函数,(1),(2),（3）步骤： 卡诺图合并最小项写出最简“与或”逻辑式,解：,写出简化逻辑式,1,例. 应用卡诺图化简逻辑函数,1,（3）步骤： 卡诺图合并最小项写出最简“与或”逻辑式,例 :用卡诺图法化简下列逻辑函数,（2）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式,解：(1) 由L 画出卡诺图,(0，2，5，7，8，10，13，15),例:用卡诺图化简,圈0,圈1,2.2.5 含无关项的逻辑函数及其化简,1、什么叫无关项：,在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的， 或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最 小项称为无关项或任意项。,