积分变换第1讲

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1、积分变换 第1讲,积分变换,傅里叶(Fourier)级数展开,在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:,具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).,t,最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T,而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt,t,人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三

2、角函数的线性组合来逼近.,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间-T/2,T/2上,1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.,第一类间断点和第二类间断点的区别:,第二类间断点,第一类间断点,不满足狄氏条件的例:,因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示为三角级数的形式如下:,为求an, 计算fT(t)

3、, cosnwt, 即,同理, 为求bn, 计算fT(t), sin nwt, 即,最后可得:,而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:,如令wn=nw (n=0,1,2,.),给定fT(t), cn的计算如下:,对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有,如图,O w1 w2 w3 wn-1wn,w,此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称傅氏积分公式,傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2, f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有,(1.4)式也可以转化为三角形式,又考虑到积分,作业 习题一,第8页 第1,2题,