数学问题与数学考试

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1、第八章 数学问题与数学考试,学 习 提 要一、数学问题的内涵二、数学解题的过程与方法 三、问题解决的教学四、数学考试中的命题探讨,一、数学问题是什么,（一）一般的数学问题（二）教学中的数学问题（三）数学问题的发展：从传统的问题到问题解决的提出,（一） 一般的数学问题,广义的数学问题是指在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾。 例如几何问题，复数问题，四色问题等等。 狭义的数学问题则是已经明显地表示出来的题目，用命题的形式加以表述， 包括证明类问题，求解类问题等。,返回,（二） 教学中的数学问题,在数学教学中，把结论已知的题目也称为问题。其内容包括：需要建立的概念、求证的定理、待推导的公式， 以

2、及师生共同进行探讨的研究性课题。,（三）数学问题的发展从传统的问题到问题解决的提出,1、传统的数学题的特征：接受性、封闭性和确定性；2、20世纪80年代以来，国际上倡导“问题解决”数学教学模式，这里的问题在障碍性和探究性上提出了较高的要求，波利亚的解释为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题是这种寻求的活动”，问题的产生过程如下图：,返回,（四）体现“问题解决”的数学问题类型,1、可以构建模型的非常规的实际问题 例1 某企业有5个股东，100名工人，年底公布经营业绩，如下表所示 :1990年 1991年 1992年 股东红利 5万 7.5 10

3、万 工资总额 10万 12.5万 15万 现在请大家分析根据此表的数据所画的三种图：,2、探究性问题 通过数学活动获得成功的体验建立自信以完善人格 例1：学习完三角形内角和定理，让学生探索四边形、五边形等多边形的内角和并归纳 3、开放性问题 旨在培养学生思维的灵活性、发散性以利于学生创新精神的养成 例2：在三角形ABC中三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果,4、情景性问题,让学生经历重要的、有价值的数学思维活动的过程 例3 （挂历问题）挂历对于我们每个人都不陌生，你曾探究过其中的数学问题吗？,二、数学解题的过程与方法,（一）什么是数学解题 （二）数学解题的过程 （三）数学解题的方法 （四

4、）学会解题的四个阶段,（一）数学解题数学解题就是求出数学题的答案。解题教学的基本含义是：通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”。 （二）数学解题的过程解题过程是在解题思想的指导下，运用合理的解题策略(或原则)，制订科学的解题程序，进行解题行动的思维过程。下图是一个解题的动态过程：,根据波利亚的解题表，求解问题,给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F(学生已学过棱柱、棱锥的体积),第一，弄清问题。 问题1：你要求解的是什么? 要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来,问题2：你有些什么?,一

5、方面是题目条件中给出的3个已知量a，b，h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验把已知的三个量添到图示处，就得到新添的三个点a,b,h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来,第二步，拟定计划。 问题3：怎样才能求得F？ 由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的如果知道了相应两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积 F=B-A 我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间

6、的联系(即式的几何图示)这就把求F转化为求A，B,问题4：怎样才能求得A与B?,依据棱锥的体积公式 底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为 我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A与x，连结起来，表示A能由a，得出 ，；类似地，用斜线把B与b，连结起来，表示B可由，得出 ， 这就把求A，B转化为求x,问题5：怎样才能求得x？,为了使未知数x与已知数a，联系起来，建立起一个等量关系，我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考，用一个通过高线以及底面一边上中点(点Q)的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把

7、a，b，h，x联系起来(转化为平面几何问题)，由 得 这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解，解方程便可由a，b，h表示x,在图示中便可用斜线将x与，h连结起来，至此，我们已在F与已知数a，b，h之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通,第三，实现计划,作辅助线如图，由相似三角形的性质，得解得,进而得两锥体的体积为，得棱台体积为。 ,第四，回顾,(1)正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的再作特殊性检验，令，由可得正四棱锥体的体积公式；令，由可得正四棱柱体的体积公式这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增

8、进三个体积公式的联系记忆 (2)回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息(如图1所示，有棱台，a，b，h，F共5条信息)，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息)，并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)由这一案例，每一个解题者可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式,(3)在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件为

9、了求F，我们只需求A，B(由棱台体积到棱锥体积的转化由未知到已知，化归)；为了求A，B，我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化由复杂到简单，降维)；为了求x，我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转化数形结合)；最后，解方程求x，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上(图1)，形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5)，书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”,(4)在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用首先是一般性解决(策略水平上的解决)，把

10、F转化为A，B的求解（），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决(方法水平的解决)，发挥组分与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决(技能水平的解决)，比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成 (5)在心理机制上，这个案例呈现出“激活扩散”的基本过程首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1图5)，直到条件与结论之间的网络沟通这种“扩散激活”的观点，正是数学证明

11、思维中心理过程的一种解释,(6)在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用首先把棱台补充(组合)为棱锥，然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥)，它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科 (7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地作出肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可以有

12、下面的解法,(8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的)注意到， ， 可得出一般棱台的体积公式为V台= 。,（三）数学解题的方法 讨论,1、具有创立学科功能的方法2、体现一般思维规律的方法3、具体进行论证演算的方法,（四）学会解题的四个阶段,简单模仿；变式练习； 自发领悟；自觉分析。,三、问题解决的教学,(一)问题解决的教育意义 (二)问题解决的过程 (三)问题解决的特征 (四)问题解决教学的策略,（一）问题解决的教育意义,1.社会发展的需要。数学教育必须努力提高学生应用数学知识去解决实际问题的能力；2.数学观现代演变的

13、需要。动态的数学观要求数学作为人类的一种创造性活动，“问题解决”就应运而生； 3.数学教育研究深入的必然结果。学数学应是“做数学”，即应当让学生通过问题解决来学习数学。,（二）问题解决的过程,1、问题识别与定义 2、问题表征 3、策略选择与应用 4、资源分配5、监控与评估,（三）问题解决的特征,1.目的指向性； 2.操作序列性； 3.连续性与突发性； 4.内隐性； 5.延伸性与发散性； 6.操作步骤的程式性 。,（四）问题解决教学的策略,1.创设问题情景，选择好问题； 2.形成知识组块，优化认知结构； 3.加强数学思维解题策略训练，注意及时反馈； 4.引导学生开展探索活动。,四、数学考试中的命

14、题探讨,数学考试的种类很多，包括检查教学效果的测验，评定成绩的日常考察，进行选拔的入学考试等，目前在全国影响最大的是高等学校入学考试。因此，以下只探讨高考数学试卷的命题。确定试卷结构 单题命题的方法 试卷组拼的技术 参考答案和评分标准的编制,确定试卷结构主要考虑如下几个方面：（1）内容覆盖率，重点内容，各章节内容比例； （2）内容要求及分数分布； （3）学科能力要求，确定各项学科能力的考查力度和考察比例； （4）题型比例，选定本次考试拟使用的各种题型，确定各种题型试题的比例；,（5）整卷难度要求和难度结构； （6）考试时间及试卷满分值； （7）各种题型中，同一知识范围的试题一般不超过一个； （

15、8）制定双向细目表（详细解释见教材）； （9）各种题型前要科学、明确、简洁、合理的指导语； （10）试卷、参考答案及评分标准的总说明要置于卷首，表述确切简洁。,编制选择题、填空题和解答题的命题技术：1在编制选择题时应注意：题干表述明确，不提供答案信息，不出现与答案无关的线索；选项与题干内容和谐协调，连接自然流畅；正确选项与干扰选项长度、结构、属性、水平等尽量接近；干扰项能反映考生的典型错误；各题正确项的排列随机，分布均匀。 2在编制填空题时应注意：提问和限定词准确，答案准确；空位的数量、位置适当；题目的文字表述与空位的关系确切、无歧义；求解的过程宜短。步骤不得太多，最好是2至3步；多数考生解答填空题有惧怕心理，因此，填空题不宜太难。 3解答题的设计步骤：（1）立意与选材；（2）搭架与构题；（3）加工与调整；,将试题组成试卷的具体操作大致如下： （1）首先筛选足够数量的合乎要求的试题入卷，全面落实各项要求，包括知识覆盖面，重点的设置，涵盖的能力要求，各能力层次的试题比例，难度的分布，试题的区分度，试卷的信度、效度，整体难度等等； （2）进而将其按题型分类，每类试题有易到难排列，精心排好顺序，形成初稿； （3）将初稿与预先设计的试卷结构进行诸项对比，反复校核，慎重调整、修改； （4）最后，请专家和主管部门审定。,