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1、第二模块 函数 (必修1:第一章 函数概念;第二章 基本初等函数();第三章 函数的应用),第四讲 函数及其表示,回归课本 1.函数的概念 设集合A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对A中的任意一个数x,在集合B中,都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中x叫做自变量,自变量的取值范围叫做这个函数的定义域.自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a).所有函数值构成的集合y|y=f(x),xA叫做这个函数的值域.,2.构成函数的要素:定义域对应关系值域. 3.两个函数的相等 当两个
2、函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数. 4.常用的函数表示法 (1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.,5.分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数. 6.映射的概念 设AB是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称f为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:AB”.,考点陪练,解析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数相等.同时满足这两个条件的只有A,B中x0,C中xR,D中xR. 答案:A,2.设集合M=x|0
3、x2,N=y|0y2,则在下面4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( )A. B. C. D. 解析:由函数的定义易知成立,故选C. 答案:C,解析:A中f(x)的定义域是x|x0, g(x)的定义域是x|x0或x-1,f(x)与g(x)的定义域不同,f(x)与g(x)不是相等函数. B中f(x)= 的定义域为x|xR,且x2,g(x)的定义域为R,f(x)与g(x)的定义域不同, f(x)与g(x)不是相等函数. C中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示,但定义域对应关系都相同,所以f(x)、g(t)表示相同函数.,D中f(n)、g(n)的对应关系不同,所以不是相等函数.
4、所以应选C. 答案:C,评析:根据函数的三要素,从定义域值域对应关系等方面对所给的函数进行分析判断. 判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是相等函数,因为定义域值域不能唯一地确定函数的对应关系. 此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关.,4.已知集合A=(x,y)|y=f(x),x-1,2,集合B=(x,y)|x=0,则AB的子集的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 解析:函数f(x)定义在-1,2上,所以由函数定义知当x=0时有唯一的y与之对应,即直线x=0与函数图象有唯一交点,故AB中
5、有一个元素,有2个子集.故选C. 答案:C,5.已知映射f:AB,其中集合B=-2,0,4,10,集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的对应元素,且对任意的aA,在B中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合A中元素的个数最多可能是( ) A.4 B.6 C.8 D.10,解析:当(a+1)(a-2)=10时,得a=4,-3;当(a+1)(a-2)=4时,得a=3,-2;当(a+1)(a-2)=0时,得a=2,-1;当(a+1)(a-2)=-2时,得a=0,1,所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有4,-3,3,-2,2,-1,0,1,一共8个,故选C. 答案:C,类型一 函数
6、的基本概念 解题准备:(1)函数是指两个非空数集AB之间的一种对应关系,它要求集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应;(2)两个函数相等是指函数的三要素相同,由于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需判定定义域与对应关系是否相同即可.,【典例1】 (1)函数y=f(x),xD与直线x=2交点个数为_.,解析 (1)当x=2D时,根据函数定义A中任何一个自变量在B中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点;当x=2 D时,无交点. (2)命题p中两函数的定义域不同,p是假命题,命题q中两函数对应关系不同,q也是假命题,所以pq是假命题. 反思感悟 两个函数的定义域
7、值域和对应关系中有一个不同,它们就不表示相等的函数. 答案 (1)0个或1个 (2)假,类型二 求函数的解析式 解题准备:求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)消元法等.,类型三 分段函数 解题准备:(1)对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之相应的对应关系; (2)分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段解决.,分析 先根据f(2)=1求出解析式中参数t的值,再进一步求 的值.,答案 8,反思感悟 对于分段函数给定自变量求函数值时,应根据自变量的范围,利用相应的解析式直接求解;若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分
8、别求解,但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内.,探究 某市某种类型的出租车,规定3千米内起步价8元(即行程不超过3千米,一律收8元).若超过3千米,除起步价外,超过部分再按1.5元/千米收费计价,若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱,下车后乘客付了16元,则乘客乘车里程的范围是_.(单位:千米),类型四 抽象函数 解题准备:抽象函数是一个难点,解决抽象函数问题,要全面应用所具有的性质展开解题思路,通常方法是赋值法,并善于根据题目条件寻找该函数模型,帮助探求解题思路和方法.,【典例4】 已知函数对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立. (1)求f(0),f(1
9、)的值; (2)求证:(3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n均为常数),求f(36)的值.,解 (1)对a,bR,有f(ab)=f(a)+f(b), 令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0. 令a=b=1,得f(1)=0.,错源一 换元不等价,剖析 错解中采用了换元法,但换元前后变量取值范围不相等,所以错解中f(x)定义域为R是错的,f(x)定义域应为变量t的取值范围.,评析在应用换元法时应注意,换元后函数的形式变了但其实质并没有发生变化,所以新元的取值范围必须由原来的变量决定.,错源二 解析式化简不等价导致函数定义域变大,剖析 本题的错误在于盲目地对函数解析式进行化
10、简,导致扩大了自变量x的取值范围.,答案 x|xR,x-1且x-2,技法 求函数解析式的方法 一特殊值法 【典例1】 已知对一切x,yR,关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立,且f(0)=1,求f(x). 解题切入点 由f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,yR都成立,可根据需要对x,y进行赋值,本题可令x=0.,解 因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,yR都成立.所以令x=0, 得f(-y)=f(0)-(1-y)y, 又f(0)=1,所以f(-y)=y2-y+1, 再令x=-y,得f(x)=x2+x+1.,方法与技巧 当所给函数的等式中有两
11、个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.,方法与技巧 已知fg(x)=h(x),求f(x)的问题,可先用g(x)表示h(x),然后再将g(x)用x代替,即得f(x)的解析式.,三换元法,方法与技巧 若已知条件中没有给出函数的具体解析式,但给出了函数的某种关系,可结合整体思想采用换元法,把解析式的某一部分设为一个变量进行求解,注意新变量的范围.,四待定系数法 【典例4】 已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x). 解 设f(x)=ax2+bx+c, f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a
12、+2c=2x2-4x+4. 对应得a=1,b=-2,c=1. 所以f(x)=x2-2x+1. 方法与技巧 已知函数式的构造模式时可用.,五转化法 【典例5】 设f(x)是定义在(-,+)上的函数,对一切xR,均有f(x)+f(x+2)=0,当-1x1时,f(x)=2x-1.求当1x3时,函数f(x)的解析式.,解 设1x3,则-1x-21. 又对任意的xR,有f(x)+f(x+2)=0. 即f(x+2)=-f(x). 所以f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x). 又-1x-21时, f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5. 所以f(x)=-f(x-2)=-2x+5(1x3). 故当x(1,3时,f(x)=-2x+5.,七分段求解法,
