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1、第5章 信道编码,5.1 信道编码的基本概念 5.2 信道编码的基本原理 5.3 线性分组码 5.4 循环码 5.5 卷积码 5.6 秩距离码 5.7 突发错误的纠正 5.8 级连码、 交织码及TCM码 5.9 纠错码的应用,5.1 信道编码的基本概念,信道编码的目的是为了改善通信系统的传输质量。由于实际信道存在噪声和干扰，使发送的码字与信道传输后所接收的码字之间存在差异，称这种差异为差错。一般情况下，信道噪声、干扰越大，码字产生差错的概率也就越大。在无记忆信道中，噪声独立随机地影响着每个传输码元，因此接收的码元序列中的错误是独立随机出现的。,以高斯白噪声为主体的信道属于这类信道。太空信道、卫
2、星信道、同轴电缆、光缆信道以及大多数视距微波接力信道，均属于这一类型信道。在有记忆信道中，噪声、干扰的影响往往是前后相关的，错误是成串出现的。通常称这类信道为突发差错信道。实际的衰落信道、码间干扰信道均属于这类信道。典型的有短波信道、移动通信信道、散射信道以及受大的脉冲干扰和串话影响的明线和电缆信道，甚至还包括在磁记录中，划痕、涂层缺损将造成成串的差错。,有些实际信道既有独立随机差错也有突发性成串差错，称它为混合信道。对不同类型的信道，要对症下药，设计不同类型的信道编码，才能收到良好效果。所以按照信道特性和设计的码字类型进行划分，信道编码可分为纠独立随机差错码、纠突发差错码和纠混合差错码。从信
3、道编码的构造方法看，其基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些多余的码元，以保证传输过程的可靠性。信道编码的任务就是构造出以最小多余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。,自1948年香农的两篇有关“通信的数字理论”的文章发表后，很长一段时间内人们都在探寻其编、译均简单有效的好码，由此形成了一整套纠错码理论。纠错编码的目的是引入冗余度，即在传输的信息码元后增加一些多余的码元(称为校验元，也叫监督元)，以使受损或出错的信息仍能在接收端恢复。从不同的角度出发，纠错编码可有不同的分类方法。按码组的功能分，有检错码和纠错码。,按监督码与信息码元之间的关系分，有线性码和非线性码。线性码是指监督码
4、元与信息码元之间的关系是线性关系，即它们的关系可用一组线性代数方程联系起来；非线性码是指二者具有非线性关系。按照对信息码元处理方法的不同分，有分组码和卷积码。所谓分组码是将k个信息码元划分为1组，然后由这k个码元按照一定的规则产生r个监督码元，从而组成长度nkr的码组。在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。分组码一般用符号(n，k)表示，并且将分组码的结构规定为前面k位为信息位，后面附加r个监督位。,分组码又可分为循环码和非循环码两种类型。循环码的特点是，若将其全部码字分成若干组，则每组中任一码字的码元循环移位后仍是这组的码字。非循环码是任意1个码字中码元循环移位后不一定再是该码书中的
5、码字。在卷积码中，每组的监督码元不但与本码组的信息码元有关，而且还与前面若干组信息码元有关，即不是分组监督，而是每个监督码元对它的前后码元都实行监督，前后相连，因此有时也称为连环码。,按照信息码元在编码后是否保持原来的形式不变，可划分为系统码和非系统码。在差错控制编码中，通常信息码元和监督码元在分组内有确定的位置。在系统码中，编码后的信息码元保持原样不变，而非系统码中信息码元则改变了原来的信号形式。系统码的性能大体上与非系统码的相同，但是在某些卷积码中非系统码的性能优于系统码。由于非系统码中的信息位已经改变了原有的信号形式，这对观察和译码都带来麻烦，因此很少应用，而系统码的编码和译码相对比较简
6、单些，所以得到广泛的应用。,按照纠正错误类型可分为纠正随机错误码、纠正突发错误码、纠正混合错误码以及纠正同步错误码等。按照每个码元取值来分，可分为二元码与多元码，也称为二进制码与多进制码。目前传输系统或存储系统大都采用二进制的数字系统，所以一般提到的纠错码都是指二元码。一般来说，针对随机错误的编码方法与设备比较简单，成本较低，而效果较显著；而纠正突发错误的编码方法和设备较复杂，成本较高，效果不如前者显著。因此，要根据错误的性质设计编码方案和选择差错控制的方式。,5.2 信道编码的基本原理,在被传输的信息序列上附加一些码元(称为监督码元)，这些多余的码元与信息(数据)码元之间以某种确定的规则相互
7、关联着。接收端根据既定的规则检验信息码元与监督码元之间的这种关系，如传输过程中发生差错，则信息码元与监督码元之间的这一关系将受到破坏，从而使接收端可以发现传输中的错误，乃至纠正错误。,可见，用纠(检)错控制差错的方法来提高通信系统的可靠性是以牺牲有效性的代价来换取的。在通信系统中，差错控制方式一般可以分为检错重发、前向纠错、混合纠错检错和信息反馈等四种类型。 下面介绍检错和纠错的原理，信道的编、译码将在后面陆续介绍。香农的信道编码定理指出：对于一个给定的有干扰信道，如信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息(R为编码器输入的二元码元速率)，则一定存在一种编码方法，使编码错误概率p随着码
8、长n的增加，按指数下降到任意小的值。,这就是说，可以通过编码使通信过程实际上不发生错误，或者使错误控制在允许的数值之下。香农这一理论为通信差错控制奠定了理论基础。具体来说，码的检错和纠错能力是用信息量的冗余度来换取的。一般信息源发出的任何消息都可以用二元信号“0”和“1”来表示。例如，要传送A和B两个消息，可以用“0” 码代表A，用“1”码表示B。在这种情况下，若传输中产生错码，即“0”错成“1”，或“1”错成“0”，接收端都无从发现，因此，这种编码没有检错和纠错能力。,如果分别在“0”和“1”后面附加一个“0”和“1”，变为“00”和“11”(本例中分别表示消息A和B)。这时，在传输“0”和
9、“11”时，如果发生一位错码，则变成“01”或“10”，译码器将可判决为有错，因为没有规定使用“01”或“10”码字。这表明附加一位码(称为监督码)以后,码字具有了检出一位错码的能力。但因译码器不能判决哪位发生错码，所以不能予以纠正，这表明没有纠错能力。本例中“01”和“10”称为禁用码字，而“00”和“11”称为许用码字。进一步，若在信息码之后附加两位监督码，即用“000”代表消息A，,“111”表示B，这时，码组成为长度为3的二元编码，而3位的二元码有2 38种组合，本例中选择“000”和“111”为许用码字，余下的6组001、010、100、011、101、110均为禁用码字。此时，如果
10、传输中产生一位以上错误，收端将收到禁用码字，因此收端可以判决传输有错。不仅如此，收端还可以根 据“ 大数”法则来纠正一个错误，即3位码字中如有2个或3个“0”,判其为“000”码字(消息A);如有2个或3个“1”,判其为“111”码(消息B)，所以，此时还可以纠正一位错码。如果在传输中产生两位错码，也将变为上述的禁用码字，译码器仍可判为有错。,这说明本例中的码可以检出两位和两位以下的错码以及纠正一位错码的能力。由此可见，纠错编码之所以具有检错和纠错能力，是因为在信息码之外附加了监督码。监督码不荷载信息，它的作用是用来监督信息码在传输中有无差错，对用户来说是多余的，最终也不传送给用户，但它提高了
11、传输的可靠性。监督码的引入，降低了信道的传输效率。一般来说，引入监督码元越多，码的检错、纠错能力越强，但信道的传输效率下降也越多。人们研究的目标是寻找一种编码方法使所加的监督码元最少,而检错、纠错能力又高且又便于实现。,5.3 线性分组码,分组码的编码包括两个基本步骤：首先将信源的输出序列分为k位一组的消息组(也称信息组，简称消息或信息)；然后信道编码器根据一定的编码规则将k位消息变换成n个码元的码字。一个(n，k)分组码，如果码的数域为 GF(m)，即每一个码元可能有m种取值，则信源可发出m k种不同的消息组。,为使接收端对码字惟一可译(即从n位长的码字中译出k位的消息)，消息组与码字之间应
12、有一一对应关系，所以编码器至少要存贮mk个码字才能实现消息到码字的变换。当k比较大时，这种编码器将显得不切实际。为了压缩编码器的存贮容量，通常对编码器附加了一个线性约束条件，使得线性码的监督位与信息位之间呈线性关系，对于二元码，(n，k)线性分组码(以后简称为(n，k)码)共有2k个码字。它们构成k维子空间的主要特征是：在加法运算下满足封闭性；在2k个码字中只有k个是线性独立的。,5.3.1 线性分组码的基本概念在通信中，为了能在接收端发现和纠正信息传输中产生的错误，发送端需要对所传输的数字信息序列进行编码。首先，把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由相继的k位信息数字组成。然后，编码器
13、按照预定的线性运算规则(可由线性方程组来规定)，把信息码组变换成n重(nk)码字，其中(n-k)个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。就是说通过预定的线性运算将长为k位的信息码组变换成n(nk)重的码字。,由2 k个信息码组所编成的2 k个码字集合，称为线性分组码。一个n重的码字（或称为码组） C可以用矢量来表示： C=(cn-1，cn-2，,c1，c0)，所以码字又称为码矢。(n，k)线性码，用Rkn表示码字中信息位所占的比重，叫做编码效率或编码速率，简称码率。它说明了信道利用效率，所以也叫做传信率。R越大，码的效率越高或传信率越高,R是衡量码性能的一个重要参数。,在(n,k)分组码中，有
14、2k个码字，但由于加了线性条件，k维子空间的基底矢量只有k个，通过这k个基底矢量的线性组合就可得到2k个两两互异的全部码字。因此线性分组码的编码器不再需要存储2k个码字，而只要存储k个线性独立的码字即可。当(n，k)码的n、k都比较大时，存储容量从2 k个n重降到k个n重。,如上所述，信道编码就是给已知信息组按预定规则添加监督码元，以构成码字。在k个信息元之后附加r(rnk)个监督码元，使每个监督元是其中某些信息元的和。例如，信息分组长度k3，在每一信息组后加上4个监督元，构成(7，3)线性分组码。设该码的码字为(c6，c5，c4，c3，c2，c1，c0)，其中c6，c5，c4为信息元;c3，
15、c2，c1，c0为监督元，每个码元取值为“0”或“1”，即ci GF(2)。监督元可按下面方程组计算：,式(51)为一线性方程组，它确定了由信息元得到监督元的规则，所以称为监督方程或校验方程。由于所有码字都按同一规则确定，因此式(51)称为一致监督方程或一致校验方程，所得到的监督元称为一致监督元或一致校验元，,c3=c6+c4 c2=c6+c5+c4 c1=c6+c5 c0=c5+c4,（5）,这种编码方法称为一致监督编码或一致校验编码。由于一致监督方程是线性的，亦即监督元和信息元间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。利用式(51),每给出一个3位的信息组，就可编出一
16、个码字，如表51所示。,表51 （，）分组码编码表,5.3.2 线性码生成矩阵和一致监督矩阵在（n，k）线性分组码中，n表示码长，k表示信息位的维数，也就是子空间的维数，设 M(m1，m2，mk)是输入纠错码编码器的信息组，则由纠错码编码器输出的码字 C为 CMG (52)则 G为该线性分组码（n，k）码的生成矩阵，即,（53）,可见 G建立了消息与码矢间的一一对应关系，它起着编码器的变换作用。因此C的每一位数字都是消息数字的线性组合。应该指出，一个子空间的基底矢量的选择不是惟一的，所以生成矩阵G的选择也不是惟一的。这种形式不同的生成矩阵仅表示消息与码字之间不同的一一对应关系，但2k个消息的集
17、合却对应着同一个（n，k）码的码字空间。如下面的 G1和G2都可作为同一个(6，3)码的生成矩阵，所对应的码字如表52所示。,表52 用不同的生成矩阵得到的线性码,表52所示的码，虽然用了不同形式的生成矩阵，但都属于同一个（n，k）码的码字空间，因此它们的检错和纠错能力是一样的。不过，它们之间还是有区别的。 G2生成的码，其前k位与消息完全相同，这种码称为系统码。系统码的编码器仅需存储k(n-k)个数字(非系统码要存储kn个数字)，译码时仅需对前k个信息位纠错即可恢复消息。由于系统码的编码和译码比较简单，而性能与非系统码一样，所以系统码得到了十分广泛的应用。系统码的生成矩阵可用分块矩阵表示为 GIk P (54),
