[理学]第3章正弦稳态电路分析

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1、1,第 3 章 正弦稳电路分析,3.3 基本元件VAR相量形式和KCL、KVL相量形式,3.4 复 阻 抗 与 复 导 纳,3.2 正弦量的相量表示法,3.1 正 弦 量 的 基 本 概 念,3.6 正弦稳态电路中的功 率,3.7 谐 振 电 路,返回,3.5 正 弦 稳 态 电 路 分 析,3.84.8 三 相 电 路,2,学 习 目 标,正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素,学会比较相位。正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的有效值和相位关系；KVL、KCL的相量形式，并能对正弦稳态电路进

2、行相关的分析、计算。,3,正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。掌握提高功率因数的方法。理解谐振现象，并掌握串联谐振和 并联谐振的特点。能进行对称三相电路的计算,4,3.1 正弦量的基本概念,3.1.1 正弦量的三要素若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。,以电流为例，正弦量的一般解析式为：,波形如图3-1所示,图 3-1 正弦量的波形,5,图中Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当t=0时的相位 叫初相位，简称初相； 叫正弦量的角频率。,因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加2，则角频率、周期T和频率之间关系为：,、T、

3、反映的都是正弦量变化的快慢，越大，即越大或T越小，正弦量变化越快；越小，即越小或T越大，正弦量变化越慢。,把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。,只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。,6,用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起点在原点左侧 ；反之 。,如图3-2 所示，初相分别为0、,由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。,7,图 3-2,8,3.1.2、同频率正弦量的相位

4、差,设有两个同频率的正弦量为,叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致，,9,如果 ，则表示i1超前i2 ;如果 ，则表示i1滞后i2 ，如果 ，则两个正弦量正交；如果 ，则两个正弦量反相。,同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须

5、与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。,如图3-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。,10,图 3 -3 i1与i2同相、超前、正交、反相,11,3.1.3 正弦电流、电压的有效值1、有效值周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。,根据有效值的定义，则有,则周期电流的有效值为,12,2、正弦量的有效值,对于正弦电流，设,同理,13

6、,3.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法,3.2.1 复数的运算规律,复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。如：,相加、减的结果为：,A1A2=（a1+jb1）(a2+jb2)=(a1a2)+j(b1b2) 复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。 如：,14,因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。特别地，复数 的模为1，辐角为 。把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角。,15,3.2.2

7、 正 弦 量 的 相 量 表 示 设有一复数 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为,由于,可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。,16,式中同理,把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。,例 已知 u1=141sin(t+60o)V ，u 2 =70.7sin(t-45o)V 。求： 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t)（3） 画出相量图,解（1）,17,（2）,（3） 相量图如图3-4所示,图 3-4,18

8、,3.3 基本元件VAR相量形式和KCL、KVL相量形式,3.3.1 基本元件VAR的相量形式在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电感和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式（即VAR）的相量形式。 1 、 电阻元件,根据欧姆定律得到,上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的，相量、波形图如图3-5所示。,19,其相量关系为：,图 3-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图,20,2、 电容元件 电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：,将上式改写为：,通常把 XC= 定义为电容的容抗。 在直流情况下，频率为零， ，电容相当于开路。,

9、21,图 3-6 电容元件的波形、相量图,以上表明电容电流超前电容电压90，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图4-6所示。,22,3、电感元件,电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：,由上式可得,U= LI =XLI,上式表明电感上电流滞后电压为90。 通常把XL=L定义为电感元件的感抗，它是电压有效值与电流有效值的比值即 XL=L。对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的抗感越大，反之越小。在直流情况下，频率为零，XL=0，电感相当于短路。,23,图 3-7 电感元件的波形、相量图,电感元件的波形、相量图如图4-7所示。可以看出，电感上电流滞后电压为90。,24,3.3.2 的相量形式

10、,在正弦稳态电路中，在任一瞬间，由任一节点流出（或流入）的各支路电流相量的代数和为零:,在正弦稳态电路中的任一回路，在任一瞬间，沿回路各支路电压相量的代数和为零：,25,3.4 复 阻 抗 与 复 导 纳,3.4.1 复阻抗,设由R、L、C串联组成无源二端电路。如图4-8所示，流过各元件的电流都为I， 各元件上电压分别为uR(t)、uL(t)、uC(t)，端口电压为 u (t)。,图 3-8,26,因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t),即,所以,27,上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。Z为该无源二端电路的复阻抗（或阻抗），它等于端口电压相量与端口电流相量之比，当频率一

11、定时，阻抗Z是一个复常数，可表示为指数型或代数型，即：,式中Z称为阻抗的模，其中X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即,28,3.4.2 复导纳,对于如图3-9所示R、L、C并联电路，根据相量形式KCL，得到：,图 3-9 RLC并联电路,29,Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。Y称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。,30,3.6 正弦稳态电路分析,对于线性正弦稳态电路有,所以线性电阻电路的各种分析方法和电

12、路定理可以推广用于线性电路的正弦稳态分析。具体方法是所有电压、电流用相量形式，元件用阻抗或导纳，画出电路的相量模型，从而建立相量形式的代数方程。,31,3.7 正 弦 稳 态 中 的 功 率,3.6.1 R、L、C元件的功率和能量1 .电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬 时功率为 pR(t)= u(t) i(t) 设流过电阻元件的电流为iR (t)=Im sint A 其电阻两端电压为uR(t)=Im R sint =Um sint V 则瞬时功率为,32,pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2t=URIR（1-cos2t）W 由于cos2t1,故此pR（t）=

13、URIR（1-cos2t）0,其瞬时功率的波形图如3-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）0，说明电阻元件是耗能元件。,图 3-10 电阻元件的瞬时功率,33,电阻的平均功率,可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。 2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为则电感电压为：,34,其瞬时功率为,上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形图如图3-11所示。,图3-11 电感元件的瞬时功率,35,从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时，pL(t)为正，说

14、明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t) 为负时，电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。,电感消耗的平均功率为：,电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。,36,3电容元件的功率在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为:,则电容电压为 ：,其瞬时功率为：,37,uc (t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图3-12所示。,图 3-12 电容元件的瞬时功率,38,从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。电容的平均功率也为零，即：,电感

15、元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。,39,3.7.2 二端电路的功率,1.瞬时功率,在图3-13所示二端电路中，设电流i(t)及端口电压u(t)在关联参考方向下，分别为：,则二端电路的瞬时功率为：,图 3-13,40,上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图4-14所示。,图 3-14 二端RLC电路的瞬时功率,41,从图上看出，u(t)或i(t)为零时，p(t)为零；当二者同号时，p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时，p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。,2. 有功功率（也叫平均功率）和功率因素,42,式中 称为二端电路的功率因素，功率因素 的值取决于电压与电流之间的相位差 ， 也叫功率因素角。,