对于一些比较复杂的函数

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1、第三节 泰勒（Taylor）公式,对于一些比较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达. 多项式函数是最为简单的一类函数，因此多项式经常被用于近似地表达函数. 英国数学家泰勒在这方面做出了不朽的贡献. 其研究结果显示：具有直到n+1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的次多项式近似表达. 那么，对于一个给定的函数，如 ，如何用一个多项式函数近似表达呢？,f (x) = f (x0) + (x),1.设 f (x)在x0处连续, 则在 x0附近有,其中 (x)为 x x0 时的无穷小. 则,f (x) f (x0) (图4.1),2.设 f

2、 (x)在x0处可微, 则在 x0附近有,其中 o(x - x0)为 x x0 时的高阶无穷小. 则,f (x) f (x0)+ f (x0) (x - x0) (图4.2),问题: 能否寻找一个n 次多项式函数P(x),使得f (x) P(x), 且误差 R(x) = f (x) - P(x)可估计.,设函数 f(x)在含有x0 的开区间(a，b)内具有直到 (n+1)阶导数，P(x)为多项式函数.,对于f (x)与Pn(x)，提出要求：,则,定理 (Taylor定理) 设y =f(x)在U(x0，)内具有(n+1)阶导数，xU(x0，),则有,其中,( 介于x0与x之间),当取x0 = 0可得 Maclaurin(麦克劳林)公式,其中,( 介于0与x之间),对于余项有两种表示形式：,第一, Lagrange型余项,( 介于x0与x之间),第二, Prano(皮亚诺)型余项,Rn(x) = o(x -x0)n),常用函数的麦克劳林公式, 要求记住.,解,代入公式,得, 介于0与x之间.,例2 求 f (x) = sinx 的n 阶Maclaurin公式,解,故,即依次取0, 1, 0, -1, , 代入Maclaurin公式（4）,得,式中,