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1、变质量问题专题,例1:如图所示,有m千克的水以初速度 进入弯管,经t秒后流出时的速度为 ,且v1=v2=v,在管子转弯处,水对管壁的平均冲力大小是 ,方向 .(管内水受到的重力不考虑),300,300,A,解: 根据题意,设管壁对水的平均冲力为 ,它是水对管壁平均冲力的反作用力.根据动量原理,分量式为：,mv/t,垂直向下,例2: 如图,矿砂从传送带A落到另一传送带B,已知v1=4m/s,v2=2m/s.若传送带的运送量qm=2000kg/h,求矿砂作用在传送带B上的力的大小和方向(不计相对传送带静止的矿砂).,解: 研究对象: 时间内落到B上的矿砂,根据质点的动量定理的微分形式,由牛顿第三定
2、律,所求力的大小为2.21N,方向偏离竖直方向10向右上.,例3 有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处,砂子经一垂直的静止漏斗落到皮带上,皮带以恒定的速率 v 水平的运动。忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响,试问:(1)若每秒有质量为 Dm= dm/dt 的砂子落到皮带上,要维持皮带以恒定速率 v 运动，需要多大的功率?(2)若 Dm =20 kg/s, v=1.5 m/s 水平牵引力有多大?所需功率多大?,解: (1) 设 t 时刻落到皮带上的砂子质量为 m, 速率为 v，t+dt 时刻,皮带上的砂子质量为 m+dm ,速率也是v, 根据动量定理,皮带作用在砂子上的外力的冲量为:
3、,由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力 F ，即 F = F。由于皮带匀速运动，动力源对皮带的牵引力F”= F，因而 F” = F，F” 与 v 同向，动力源所供给的功率为:,(2)当,水平牵引力,所需功率,又因为火箭总质量的变化（减少！）是由于喷出了质量为m的气体，所以有：,（略去二阶小量）,进而由牛顿定律或动量定理可以得到：,更多相关的内容见教材 (P60-P61),例4: 火箭推进问题。 设火箭在t时刻总质量为M，速度为 ， 时刻总质量变为M，速度为 ，并且以相对速度 向后喷出质量为m的气体。这样，在 时间内，系统总动量的改变为：,例5: 有一条单位长度质量为 的均质细绳，开始时盘绕在
4、光滑的水平桌面上。现以恒定加速度a向上提起，当提起高度为y时，求作用在绳端的力。,问： 如果是匀速向上提绳子呢？,绳子被提起的部分上任意一点都以加速度a上升,例6 一柔软链条长为l，单位长度的质量为，链条放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围由于某种扰动,链条因自身重量开始下落.,m1,m2,O,y,y,求链条下落速度v与y之间的关系设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开,解 以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立坐标系,由质点系动量定理得,则,又,m1,m2,O,y,y,两边同乘以 则,m1,m2,O,y,y,例7: 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，
5、绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把细绳上端放开，绳将落到桌面上。试证明，在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于己落到桌面上的绳重量的三倍。,证: 取如图所示坐标。设在时刻t已有x长的柔绳落至桌面，此时质点系(柔绳)的总动量为mv（其中m=(L-x)）,根据质点系动量原理的微分形式,(1),代入(1)式得：,正是已落到桌面上的绳重量，证毕。,而,例8 如图，在一弯曲管中， 稳流着不可压缩的密度为 的流体. pa = p1、Sa=A1 , pb =p2 , Sb=A2 ， 求流体的压强 p 和速率 v 之间的关系,解 取如图所坐标，在 时间内 、 处流体分别移动 、 ,=常量,若将流管放在水平面上，即,常量,伯努利方程,常量,即,END,
