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1、1,第一章概率论的基本概念,1. 写出下列随机试验的样本空间及各随机事件。,(2)将a,b两个球随机地放入甲乙盒子中去，观察甲乙两个盒子中球的个数。A表示“甲盒中至少有一个球”,(1)将一颗骰子接连抛掷两次，记录两次出现的点数之和。A表示“点数之和小于6”，B表示事件“两次出现的点数之和为7”。,（4）测量一辆汽车通过给定点的速度。A表示“汽车速度在60至80之间”(单位：公里/小时),练习一,(3)记录南京市110在一小时内收到的呼叫次数。A表示“南京市110在一小时内收到的呼叫次数在6至10间”。,2.设A、B、C 为三个事件试用A、B、C 表示下列事件,(2)A，B，C 都不发生,(1)
2、A与B 不发生，而C 发生,(3)A、B、C 至少有一个发生,(4)A、B、C中恰有一个发生,(6) A、B、C 中至多有两个发生,(5)A、B、C 中恰有两个发生,(7) A、B、C 中至少有两个发生,2,3,3.设A、B、C为三个事件,且 ， 求A，B，C都不发生的概率。,由 知,4,(2)A、B互不相容,4.设A、B是两个事件且 ，试在三种情况下求,(3)A、B有包含关系,5,5.设A、B、C是三个事件 求 ， 。,6,解：以A表示事件“指定的3本书放在一起”,练习二,1.把10本不同的书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率。,10本书任意放置的情况共有,3个作整体放置的情况
3、共,3本书的排列共有,6,以A表示事件“指定的3本书放在一起”,以事件A表示“指定的3本书放在一起”,把事件“指定的3本书放在一起”表示为A,把“指定的3本书放在一起”表示为事件A,7,2.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录企纪念章的号码。,(1)求最小号码为5的概率,解：以A表示事件“最小号码为5”,(2)求最大号码为5的概率,解：以B表示事件“最大号码为5”,8,3.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客。问一个订货白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？
4、,解：以A表示事件“白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶”,9,4.已知在10只晶体管中有2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。,(1)两只都是正品,解：以A表示事件“两只都是正品”,(4)第二次取出的是次品,解：以C表示事件“一只是正品，一只是次品”,(2)两只都是次品,(3)一只是正品，一只是次品；,解：以B表示事件“两只都是次品”,解：以D表示事件“第二次取出的是次品”,10,解：以A表示事件“该方程有重根”。,5.考虑一元二次方程 ，其中B,C分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数，求该方程有重根的概率。,样本空间S中共有36个元素满足判别式的样本点只有
5、(2,1)和(4,4),11,练习三,1. (1)已知 求 。,解：,(2)已知 求 。,解：,12,2.假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的概率为0.002。根据以往资料表明，某单位职工患肺结核的概率为0.001。现在该单位有一个职工经过透视被诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。,解：以A表示事件“确实患肺结核”，以B表示事件“通过透视被确诊”。,13,3.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则,(1)此人是色盲患者的概率,解：以A表示事件“色盲患者”，以B表示事件
6、“所取为男子”。,(2)若此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多少？,解：,14,4.有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求,(1)第一次取到的零件是一等品的概率,(2)在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。,解：以 表示事件“第i次从零件中取到一等品”,以 表示事件“取到第i箱”,15,解：,5.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况有三种：损坏2%，(这一事件记为 )，损坏10 %(事件 )，损坏90%（事件 ）。且知
7、 现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的(这一事件记为B)。试求条件概率 （这里设物品数量很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率。）,16,练习四,1. 口袋里装有a+b枚硬币，其中b枚硬币是废品(两面都是国徽)。从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独立地抛掷n次，结果发现向上的一面全是国徽，试求这枚硬币是废品的概率。,解：以A表示事件“n次出现都是国徽”，B表示事件“取到废品”,17,证明：,2. 设 且 。 证明A与B相互独立。,18,3. 设某工厂生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定位不合格品
8、不能出厂。现在该厂生产了n(n2)台仪器，求所有仪器都能出厂的概率。,解：以Ai表示事件“第i件仪器能出厂”，以B表示事件“第i件仪器需要进一步调试”，以C表示事件：“所有仪器都能出厂”,18,4. 设有4个独立工作的元件1,2,3,4，它们的可靠性均为p。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。,解：以A表示事件“系统的可靠性”,1,第二章 随机变量及其分布,1. 一个袋内装有6个红球和4个白球，从中任取3个，设X为取到的红球的个数，求X的分布律。,解：X的可能取值为：,练习一,2,2. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 p（0p2Y,其它,解：,6,3.设二维连续型随机变量(X
9、,Y)的概率密度,其它,其它,求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度,其它,其它,其它,7,(1)确定常数c,解：,4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度,(2)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度,其它,其它,其它,6,练习二,1.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,且随机变量X与Y相互独立，求p与q的值。,8,2.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,(2)判断随机变量X和Y是否相互独立。,其它,解：,其它,(1)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度,其它,显然,不独立,8,3.设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，令,(1)求二维随机变量(X1,X2)的联合概率分布律,(2) 判断随机变量X1与X2是否相互独立,
