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1、Chapter 5 群论基础 5.1群的抽象理论 一群的定义设有一组元素的集合GA，B，C，（有限或无限个），其中定义一个结合法，称为“乘法”的代数运算，给出由任意两个元素按一定次序结合（相乘）得到确定的一个元素（乘积）的规则，并且G满足以下四个条件，则称G为一个群。,条件1. 封闭性： G对于这个乘法是封闭的，即集合中任意两个元素的乘积，仍是该集合G中的一个元素，即：,A G，B G，则AB = C C G,条件2. 乘法满足结合律：,A（BC）=（AB）C,（AB）（CD）（EF）（GH）=A（BC）（DE）（FG）H=（AB）C（DE）（FG）H =,条件3. 有单位元素E存在,EA=A
2、E=A,条件4. 有逆元素存在,AA-1 = A-1A = E,定理1：两个或多个元素乘积的逆元素等于各逆元素按相反次序的乘积，即： (ABCXY)-1=Y-1X-1C-1B-1A-1,证明：若A、B、C是群元素，它们的乘积D必定也是一个群元素，即 ABC=D 群中也必定存在它们的逆元素A-1，B-1，C-1，D-1。若用C-1B-1A-1右乘这一等式的两边得：,ABCC-1B-1A-1=DC-1B-1A-1ABEB-1A-1=DC-1B-1A-1E=DC-1B-1A-1 又DD-1=E，C-1B-1A-1=D-1 即 D-1=(ABC)-1=C-1B-1A-1 证毕。,举例: 全体整数的集合
3、对于数的加法构成群 全体n阶非奇异方阵的集合对于矩阵的乘法构成群。 群可以有限的或无限的，有限群中元素的数目标为群的阶，惯用符号h表示。 对称操作群构成群 一个操作R的逆操作S；必须使RS=SR=E。 i,的逆操作是其本身i,; ii = E, = E， 真转动 ，逆操作为 ，因为,当n=奇数，m=偶数时，,非真转动,n=偶数,n和m都是奇数,逆操作,逆操作,逆操作,所以对称操作构成群。,三子群 定义：如果一个群G的元素都包含在另一个群H中，则称G为群H的子群。,定理2：h阶主群的任意子群，它的阶g必为h的除数，即h/g = kk是某个整数。,证明：假设有h阶主群H，其中一组g个元素A1，A2
4、，Ag组成它的一个子群G1。取主群中另一个不是这个G1子群的成员B1，并B1左乘子群的g个元素得B1A1，B1A2，B1Ag。所得这些乘积中没有一个可以在G1子群中。这样子群有g个元素，B1Ai乘积有g个元素，共有个元素。同样，如果主群中还存在B2，则B2Ai的乘积也不属于Ai或B1Ai的成员，那么h = 3g；如h3g，则可以再同样做下去，直到群元素穷尽。那么h = kg，k必定是整数， h/g = k 证毕。,四群的类 把群分为更小的集合，把这样的集合称为群的类。 定义：相互共轭元素的一个完整集合称为群的类。若 B = X-1AX B称为是A借助于X所得的相似变换，而A和B就称为是共轭的。
5、定理3：共轭元素的性质 1、每个元素与其自身共轭 X-1AX=A。 2、若A与B共轭，则B与A共轭，即，若B=X-1AX，则在群中必定有某个元素Y，使得 A=Y-1BY （XBX-1=A） 证：对B=X-1AX式左乘X，右乘X-1，得XBX-1=XX-1AXX-1=EAE=A 任意元素X必定存在其逆元素Y，即X-1=Y ，同样X=Y-1，Y-1BY=A,3、若A与B及C共轭，则B与C 相互共轭。 证：A=X-1BX，C=Y-1AY（A与C共轭，C也与A共轭），Y-1X-1BXY=Y-1AY (XY)-1B（XY）=C XY一定是群中元素，B与C共轭为了确定任意具体群中的类，可以从一个元素开始，
6、作出群中所有元素对它的变换，即可得到它的所有共轭元素，然后取第二个元素，这个元素不与第一个元素共轭，如此进行下去，直到把群中的元素分类结束。,例如：C3V点群的分类， C3V点群具有元素E，C3， ，1，2，3。求C3共轭元素：,净结果等于 ，C3与 共轭组成一类,求的共轭元素：,净结果等于3。所以1，2，3相互共轭，组成一类,恒等元素E自成一类因此，C3V点群共有三类E；C3， ；1，2，3 在点群中一般有以下几条规则： 对称元素E，i，h分别自成一类； 当有对称面包含主轴 或有C2轴垂直于 轴时，则 与 属同一类； 与 也属同一类，例如上面举例的NH3分子（C3V点群），C3与 （ ）属于
7、一类。若无上述条件， 与 各属一类。例C3点群， 。,若有对称操作将对称面上的所有点移到对称面上，则反映操作与同属一类（例NH3分子中，1与3同属一类）。同样，如有对称操作将旋转轴 （或 ）上所有点移到 （或 ）轴上，则 （或 ）与 （或 ）同属一类。 例：Cn群：有n类 Cn包含的元素为 ，每个元素自成一类，则有n类，上面所讲的例题C3点群就只有三类,Cnv群：,当n为奇数时，所有对称面 都可通过Cn轴转为复合。因此，所有n个对称面组成一类； 因为Cn轴是双向轴，可有,共可有,种类,例如C3V就有三类。,当n为偶数时，共可有 种类。例如C4v点群:1与3组成一类，2与4组成一类，E组成一类，
8、C2组成一类，C4与 组成一类。,群的分类对选择合适的分子波函数有很大的关系，因为分子的对称性是与其内部的对称性关系在一起的，例如，NH3分子按群分类有三种，实际上波函数也只有三种类型。因此分子对称性大大地限制了波函数的型式，所以可根据对称性来找波函数。定理4：所有类的阶必定是群的阶的整数因子 要求掌握对各种点群的分类！,五同构与同态 构成群的对象可有千差万别，但它们具有共同的特征服从相同的运算规则，群论就是研究这一共同特征。 由不同的对象构成的群，从群论的角度去看却可能是完全等价的，或者有密切联系的，群的同构与同态是说明由不同的对象构成群之间的关系。 1、 同构 如果在两个群G和G之间能建立
9、起一一对应关系，使gi gi , gj gj , gk gk 在G中存在gigi=gk，则在G存在gigj=gk，就可以认为G与G同构。一般记为GG。,如果两个有限群是同构的，则不仅它们的元素数目相同，而且有相同的乘法表。 例如，C4群: 另外由i，-1，-i，1四个数组成4阶群，这两个群中的元素一一对应:E 1， C4 i， -1， -i 并且具有相同的乘法表，因此，这两个群同构，也称为同构群。一个对称操作群与一方阵同构，所以通过研究方阵来了解对称操作群。,2同态 如果在两个群G和G中并不是每个元素一一对应，而是群G中的一组元素gi对应于G中的gi，即：gi gi ， gj gj ， gk
10、gk 并且在G中有gigj=gk，则G中有gigj =gk ，可以称G群与G群为同态，它们是同态群。 实际上同构是同态的一个特例，即同阶的同态群就是同构群。,例：C4群与1, -1,令 ，这两个群同态。,六、群的直积如果有两个群K=E，A1，A2，Am和L=E，B1，B2，Bn，满足以下两个条件： 除恒等元素E外，K群与L群没有共同元素； AiBj=BjAi，即两个群中任意两元素的乘法可对易。可定义一个更大的群G，这个G就是K群和L群的直接乘积，简称直积。用符号表示： G = K LG包含所有AiBj元素。推广到更多个群，若G包含K，L，R，X，Y，并满足以上两个条件，则G = KLRY,例如
11、：C2点群与C3点群的直积为C6，因为C2=E，C2， ， 这两个群除E元素外，没有共同元素，并且C2C3=C3C2 或 EC3=C3E=C3,C6是C2与C3群的直积。,EC2=C2E=C2 EE=E,若群G可分介为H1，H2，的直积，而H1，H2，Hn又可分介为直积H11，H12；H21，H22，则群G也是 H11H12，H21H22子群的直积。直积群G中的一部分子群的乘积仍然是群G的子群。 例如Dnh群: Dnh=DnC1hDn=CnC2 Dnh=CnC2C1h 其中Dn与C1h，Cn与C2均可对易 Dn，C1h，Cn，C2均是Dnh的子群。,作出由两个群的元素组合成的所有乘积，aibj=bjai (i = 1，2，；j = 1，2，)得到的结果就是直积群G的全部元素，而直积群的乘积定义为： （aibj）(akbl) = aiakbjbl = aqbp,2. 求 群的分类,作业 4 1. 已知一维非谐振子具有： 而 求其基态和第一激发态的能量一级校正值,
