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1、第二章 自动控制系统的数学描述,第一节 概论 第二节 机理分析建模方法 第三节 拉氏变换和传递函数 第四节 典型环节的动态特性 第五节 系统方框图等效变换和信号流图 第六节 实验建模方法 第七节 PID 控制器,第一节 概论,控制系统数学模型的定义 揭示系统各变量内在联系的数学表达式和关系图表 数学模型的类型 静态特性模型和动态特性模型图，表，表达式 图 ： 方框图，信号流图，特性关系图 表达式： 微分方程，传递函数，频率特性函数，差分方程 数学模型的建立原则 分清主次，合理简化，选定类型，整理归纳 数学模型的建立方法 分析法： 据物理化学规律推导 实验法： 据实验数据拟合,第二节 机理分析建
2、模方法,2.2.1 建立模型的方法 2.2.2 建立模型举例 2.2.2.1 机械系统 2.2.2.2 电气系统 2.2.2.3 液力系统 2.2.2.4 热力系统 2.2.3 物理系统的相似性,2.2.1 建立模型的步骤,划分系统元件, 确定各元件的输入和输出 根据物理化学定律列写各元件的动态方程式, 为使问题简化可忽略次要因素物理化学定律例如: 牛顿第一定律,能量守恒定律,基尔霍夫定律,欧姆定律，道尔顿定律 消除元件动态方程式中的中间变量, 推导元件的输入输出关系式 整理出系统的输入输出关系式,2.2.2.1 建模举例-机械系统,1). 弹簧-质量-阻尼系统已知: 弹簧系数 K ,质量 M
3、 , 外力F(t) , 阻尼系数 f . 求: 系统动态方程式. 解: 根据牛顿第二定律整理成规范形式,2.2.2.1 建模举例-机械系统,2). 弹簧-阻尼系统已知: 弹簧系数 K , 外力 x , 阻尼系数 f , 位移 y. 求: 系统动态方程式. 解: 根据牛顿第三定律整理成规范形式,K,f,y,x,2.2.2.1 建模举例-机械系统,3). 无固定的弹簧-阻尼-质量系统已知: 弹簧系数 K , 位移 x , 阻尼系数 f , 位移 y, 质量 M. 求: 系统动态方程式. 解:根据牛顿第二定律整理成规范形式,2.2.2.1 建模举例-机械系统,4). 机械转动系统已知: 转动惯量 J
4、 , 转矩 T , 摩擦系数 f , 转角 . 求: 系统动态方程式. 解:根据牛顿第二定律,T,f,J,2.2.2.2 建模举例-电气系统,1). RLC 电路已知: RLC 电路如图 . 求: 以U i为输入，U o为输出的系统动态方程式.解: 根据基尔霍夫定律消去中间变量，,Ui,Uo,C,L,R,2.2.2.2 建模举例-电气系统,2). RC 串并联电路已知: RC 电路如图 . 求: 以U i为输入，U o为输出的系统动态方程式. 解:应消去中间变量,2.2.2.2 建模举例-电气系统,2). RC 串并联电路(续),2.2.2.3 建模举例-液力系统,1). 单容水箱 已知: 流
5、入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H 求: 以 Qi 为输入，H 为输出的系统动态方程式. 解: 根据物质守恒定律 或 中间变量为 Qo, 据流量公式线性化处理: 规范化,Qi,Qo,A,H,或,2.2.2.3 建模举例-液力系统,2). 双容水箱 已知: 流量 Q1,Q2,Q3; 截面 F1,F2; 液位 H1,H2; 液阻 K1,K2 求: 以Q 1为输入，H2 为输出的系统动态方程式.,F1,H1,F2,H2,K1,K2,Q3,Q2,Q1,2.2.2.3 建模举例-液力系统,2). 双容水箱(续1) 解: 根据物质守恒定律 和流量近似公式,中间变量为 Q2, Q3, H1,
6、 由(2),(4),或,2.2.2.3 建模举例-液力系统,2). 双容水箱(续2),由(1)(5)得,由(3), (5), (6),2.2.2.3 建模举例-液力系统,2) . 双容水箱(续3),2.2.2.4 建模举例-热力系统,1). 绝热加热过程 已知: 进热量 Qi , 出热量 Qo, 工质流量 G , 温度, 比热 Cp， 器内质量 M 求: 以 Qi 为输入 为输出的系统动态方程式. 解: 根据能量守恒定律,G,Qi,M,Cp,Qo,中间变量为 Qo,2.2.2.4 建模举例-热力系统,2). 加热装置 已知: 进热量 hi , 工质流量 q , 进口温度i, 出口温度 o, 环
7、境温度c, 热容 C， 进口工质比热 Cp ，热阻 R 求: 绝热时和不加热时的系统动态方程式. 解: 根据能量守恒定律,o,hi,C,Cp,Cp,q, i,c,绝热且不加热时,绝热时,2.2.3 物理系统的相似性,物理系统遵循基本的物理定律, 不同的物理系统质同形不同, 有相似性. 上述四种物理系统的相似性: 物理系统 势 流 阻 容 感 电气系统 U I R C L液力系统 h q R A 热力系统 Q R C机械系统 F v f K m利用物理系统的相似性, 可使机理分析建模工作大为简化,第三节 拉氏变换与传递函数,2.3.1 拉普拉斯(Laplace )变换 2.3.1.1 定义 2.
8、3.1.2 典型函数的拉氏变换 2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理 2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程 2.3.2 传递函数 2.3.2.1 定义 2.3.2.2 传递函数的求取方法 2.3.2.3 传递函数的性质,2.3.1 拉普拉斯(Laplace )变换,2.3.1.1 定义 拉氏变换的定义其中 x(t)-原函数, X(s)-象函数, 复变量 s = + j 拉氏反变换的定义,2.3.1.2 典型函数的拉氏变换 1) 单位阶跃函数的拉氏变换2）单位斜坡函数的拉氏变换,2.3.1 拉普拉斯(Laplace )变换,或,2.3.1.2 典型函数的拉氏变换(续),3)指数函数的拉氏变换
9、,2.3.1.2 典型函数的拉氏变换(续),4）正弦函数的拉氏变换,实际中的拉氏变换不是推算而是查拉氏变换表,2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理,1) 线性定理 2) 微分定理 3) 积分定理 4) 终值定理 5) 初值定理 6) 迟延定理 7) 位移定理 8) 卷积定理,2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理,1) 线性定理 设 (下同)2) 微分定理,2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理,2) 微分定理（续）,各初值为0时,3) 积分定理,2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理,3) 积分定理（续）,各初值为0时,2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理,4）终值定理5) 初值定理6) 迟延定理
10、(实平移定理）,2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理,7) 位移定理(复平移定理）8) 卷积定理,2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(1),1) 求解步骤 对微分方程进行拉氏变换 求系统输出变量表达式 将输出变量表达式展开为部分分式 查表求各分式的拉氏反变换 整理出方程解 2) 部分分式展开法 通分法（适用于简单函数） 例：,2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(2),留数法（适用于复杂函数)设 零点:极点: (1) 当F(s)只有相异实极点时根据复变函数留数定理,2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(3),例: 求 的部分分式解:(2) 当F(s)含有共轭复极点时,2.3.1.
11、4 用拉氏变换法求解微分方程(4),根据上述方程，令实部=实部，虚部=虚部，可解出a1，a2 例: 求 的部分分式 解: 虚部=虚部: 实部=实部:,2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(5),化简: 求解得:(3) 当F(s)含有重极点时, 设p1r为重极点,2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(6),例: 求 的部分分式 解:,2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(7),3) 求解微分方程举例 已知: 求: 解: 对微分方程进行拉氏变换,令,2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(8),2.3.2 传递函数,2.3.2.1 定义 文字定义: 零初始条件下系统输出信号的拉氏变换
12、与输入信号的拉氏变换之比 数学式定义: 设输入为r(t),输出为 y(t) ,则系统的传递函数为 2.3.2.2 传递函数的求取方法 1) 对微分方程进行拉氏变换(零初始条件) 2) 对脉冲响应进行拉氏变换 3) 实验建模方法 (详见2.5 节),2.3.2.2 传递函数的求取方法,1) 对微分方程进行拉氏变换(零初始条件)系统微分方程:零初始条件拉氏变换:整理得传递函数:规范形式: A(s)为首一多项式, a0 =1,2.3.2.2 传递函数的求取方法,2) 对脉冲响应进行拉氏变换取输入 x(t)=(t)则有 X(s)=1所以输出 Y(s)=G(s)X(s)=G(s)这样有传递函数求取公式：
13、当 x(t)= (t)， G(s)=Ly(t),G（s）,X（s）,Y（s）,2.3.2 传递函数,2.3.2.3 传递函数的性质 1) 传递函数的系数和阶数均为实数，只与系统内部结构参数有关而与输入量初始条件等外部因素无关2）实际系统的传递函数是S的有理分式（nm）3) 传递函数是物理系统的数学模型但不能反映物理系统的性质，不同的物理系统可有相同的传递函数4）单位脉冲响应是传递函数的拉氏反变换5）传递函数只适用于线性定常系统,第四节 典型环节的动态特性,2.4.1 比例环节 2.4.2 积分环节 2.4.3 微分环节 2.4.4 惯性环节 2.4.5 振荡环节 2.4.6 迟延环节,2.4.
14、1 比例环节,动态方程: y(t)=Kx(t) 传递函数: G(s)=K 方框图:阶跃响应:特点: 输入与输出成比例 实例: U=RI,K,t,y=Kx0,X(s),Y(s),x=x0,I,U,R,2.4.2 积分环节,动态方程: 传递函数: 方框图:阶跃响应:特点: T大则积分慢 实例:,2.4.3 微分环节,动态方程: (理想)(实际) 传递函数:阶跃响应:特点: Td 决定了微分作用时间 实例:,G(s),t,x=x0,Td,Kdx0,0.368Kdx0,2.4.4 惯性环节,动态方程: 传递函数: 方框图: 阶跃响应:特点: Tc 决定过渡过程时间,K 决定稳态输出值. 实例:,G(s),t,x=x0,Uy,C,Tc,Kx0,Ux,R,
