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1、1,第三章 集合的基本概念和运算,3.1 集合的基本概念 集合、元素、子集、包含、集合相等、真子集、空集、幂集、全集 3.2 集合的基本运算 并集、交集、相对补集、绝对补集、对称差、文氏图、算律、 3.3 集合中元素的计数 基数、有(无)穷集、包含排斥原理,2,集合的基本概念和运算,集合的定义,关系 （相等、 包含）,集合的基本运算 , , ,集合元素的计数,表示,3.2,3.3,3,集合(set)的概念,把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合。 由确定的相互区别的一些对象组成的整体称为集合 可确定的可分辨的事物构成的整体 例：教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自然
2、数的全体、直线上的点、26个英文字母、,4,元素,集合内的对象称为元素 集合通常用大写英文字母标记。例如，N代表自然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合。,5,趣味思考,任意自然数都可以表示为两个自然数的平方差吗?请严谨、详细分析说明.,6,集合的表示,列举法： A=a,b,c,d 描述法： B=XP(x) P(x) 是谓词，概括集合中元素属性 B=xxZ3X6 即B=4，5，6 元素a属于集合A，记作aA。 元素a不属于集合A ，记作a A (元素无次序、不重复),7,集合的例子,The set of positive integers and
3、zero自然数集 The set of all integers(positive and negative integers and zero)整数集 the set of all positive integers Z+=正整数集 The set of all rational numbers 有理数集 the set of real number实数集 A=a, b,c, d, d ,8,子 集,设A ，B是集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B。记做B A 。 若集合 A 不包含集合B ，可表示成 包含的符号化表示为 对任何
4、集合都有SS,9,从属关系与包含关系,从属关系：集合 S 的元素a 与 集合 S 本身之间的关系， 从属关系 aS 包含关系：集合A与集合 B之间的关系 包含关系A B,10,集合相等,定义3.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作AB，符号化表示为如果A和B不相等，则记作AB,11,实 例,判断AB？ 1.2.1,2,4和1,2,2,4 3.1,2,4和1,4,2 4.1,2,4和1，4，2 5.1,3,5,和x|x是正奇数,12,真 子 集,定义3.3 设A，B为集合，如果BA且BA，则称B是A的真子集。记作B A。如果B不是A的真子集，记作B A判断：0，1、 1，
5、3、0，1，2是0，1，2的真子集吗？,13,空 集,定义3.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集可以符号化表示为空集是客观存在的，例如， 是方程 的实数解集，因为该方程没有实数解，所以A,14,空集是一切集合的子集,定理3.1 空集是一切集合的子集证明： 任给集合A，由子集定义有 。,15,空集是唯一的,推论 空集是唯一的。证明 假设存在空集1和2，根据集合相等的定义得12,16,确定下列命题是否为真,（1），（3），（4）为真， （2）为假,17,求Aa,b,c的全部子集,解 ：将A的子集从小到大分类：0元子集，即空集，只有1个：。1元子集，即单元集，有3个：a，b,c。2元子集，有
6、3个：a，b，a,c，b,c。3元子集，有1个：a,b,c。,18,幂 集,定义3.5 给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，称为集合A的幂集，记作P(A),或设Aa，b，c，由例3.2可知 P(A) , a, b, c, a,b, a,c, b,c, a,b,c若A是n元集，则P(A)有2n个元素。,19,实 例,20,全 集,定义3.6 在一个具体问题中,如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E(或U),21,L=a,b,c,令: S=XL|X a =a, a, b,a,c, a,b,c,令: R=X | X X 则: L , S 是X 的元素吗?R 是 R
7、 的元素吗? -著名的罗素悖论,22,3.2 集合的基本运算,定义3.7 设A与B为集合，A与B的并集，交集，B对A的相对补集分别定义如下： AB=x|(x A) (x B) AB=X | (X A) (X B) A - B = X | (X A) (X B)当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的,23,计算：AB，AB，A-B，B-A，C-A，BC,24,n个集合的并集和交集,25,表示法,26,绝对补集,定义3.8 设E为全集，AE，则称A对E的相对补集为A的绝对补集，记作A，即AE-AxxExA AxxA例: E0,1,2,3,A0,1,2,B0,1,2,3,C， 则 A3，B，CE,
8、27,对 称 差,定义3.9 A与B的对称差是AB（AB）（AB） 例: A0,1,2，B2，3， 则有 AB0,130,1,3 或AB0,1,2,32= 0,1,3,28,文氏图（john Venn）,AB=,A,B,E,AB,AB,A,B,E,AB,29,文氏图（john Venn）,A-B,(AB)-C,AB,A,E,A,30,算 律,幂等律结合律,31,算 律,交换律 AB=BA AB=BA 分配律 A (BC)=(A B)(A C)A (B C)=(A B) (A C),32,算 律,同一律 零律,33,算 律,排中律 矛盾律 吸收律,34,算 律,德摩根律 双重否定律,35,证明
9、A一(BC)(AB)(AC),（对任意x ）故 A一（BC）（AB）（AC）,36,集合运算性质,37,证明 （A一B）BAB, 证明 （AB）B （AB）B （AB）（BB） （AB）E AB,38,实 例,化简 :(ABC)(AB)(A(BC)A) 解 因为ABABC，AA(BC) (ABC)(AB) AB，(A(BC)A A， 所以，原式是（AB）ABA。,39,设AB，思考A 与B的关系,设AB，证明BA。 证明 已知AB， 由式（328）得BAA 所以BA（BA）A 再利用式（3.28）有BA。,40,已知ABAC，证明BC,证明 ABAC 所以 A(AB)A(AC）， (AA)B(
10、AA)C， （结合律） BC， （式（332） 所以 BC （式(3.29)和（3.31)）已知ABAC，证明BC,41,3.3 集合中元素的计数,集合A1，2，n，它含有n个元素,可以说这个集合的基数是n，记作 card An 也可以记为An，空集的基数是,即0,42,有穷集、无穷集,定义3.10 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数），使得Acard An，则称A为有穷集，否则称A为无穷集。例如，a,b,c是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷集。,43,无穷集知多少?,N，Z，Q，R都是无穷集, 他们的基数相等吗? 如何证明?,44,例3.9 有100名程序员，其中47名熟悉FORTRA
11、N语言，35名熟悉PASCAI，语言，23名熟悉这两种语言。问有多少人对这两种语言都不熟悉？ 解 设A，B分别表示熟悉FORTRAN 和PASCAL 语言的程序员的集合,100,A,B,23,47,24,35,12,41,45,题解,ABAAB472324，丨BA丨B一丨AB352312， 从而得到丨AB丨=24231259，（AB）100594 所以，两种语言都不熟悉的有41人。,46,实 例,例3.10 求在1和1000之间不能被5或6，也不能被8整除的数的个数。 解 设1到1000之间的整数构成全集E。A，B，C分别表示其中可被5，6或8整除的个数的集合 在ABC中的数一定可以被5，6和
12、8的最小公倍数5，6，8120整除. 即,47,题 解,A,B,C,8,25,17,33,48,A,B,C,8,25,17,33,150,100,67,600,49,包含排斥原理,S,A1,A2,50,包含排斥原理,A1,A2,A3,S,51,包含排斥原理,定理3.2 令Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的集合, S中不具有性质P1,P2,Pm的元素数是,52,证明 等式左边是S中不具有性质P1,P2,Pm的元素数。我们将要证明：对S中的任何元素x，如果它不具有这m条性质，则对等式右边的贡献是如果x至少具有其中的一条性质，则对等式右边的贡献是0。设x不具有性质P1,P2,Pm ，那么xAi，i
13、1，2，m。对任何整数i和j，1ijm，都有xAiAj,对任何整数i，j和k，1ijkm，都有x AiAj Ak,xA1A2A3 , Am.但是xS，所以在等式右边的计数中它的贡献是,53,证 明,根据二项式定理不难得到上面式子的结果是0,54,推论 在S中至少具有一条性质的元素数是,证明,将定理32的结果代入即可得证。,55,例3.11 某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球（指篮球或排球），求不会打这三种球的人数。 解 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为A，B和C，则 |A|12，|B|6，|C|14，|S|25，|AC|=6，|BC|5，|ABC|=2。 AB3,56,例3.12 一个班里有50个学生，在第一次考试中有26人得5分，在第二次考试有21人得5分如果两次考试中都没得5分的有17人，那么两次考试都得5分的有多少人？解1 设A，B分别表示在第一次和第二次考试中得5分的学生的集合，那么有,有14人两次考试都得5分,57,解 2,(26x)x（21x）1750。解得x14。,58,集合的基本概念和运算,集合的定义,关系 （相等、 包含）,集合的基本运算 , , ,
