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1、主讲教师:冉扬强,量子力学,课程十四,第五章 微扰理论 5.1 非简并态微扰理论 一、微扰论的基本思想 二、一级修正(近似) 三、二级修正(近似) 四、非简并定态微扰法的解题步骤,第五章 微扰理论前面我们精确的求解了一些薛定谔方程，例如一维无限深势阱，谐振子和氢原子。但在量子力学中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，薛定谔方程能够精确求解的情况非常少，因此，在处理各种实际问题时，往往需要采用各种近似方法。常用的近似方法有微扰论、变分法、准经典近似、绝热近似、自恰场近似等，其中微扰论是最重要的、应用上也是最广泛的近似，这个方法最早在1926年由薛定谔提出来的，后来经过了许多人的,丰富和发展，近20年
2、来微扰论在应用上又有了新的发展。本章主要讨论微扰论和变分法。 主要内容1、非简并态微扰理论2、简并情况下的微扰理论3、氢原子的一级斯塔克效应4、变分法及其应用5、与时间有关的微扰理论6、跃迁几率7、光的发射与吸收8、选择定则,重点1、非简并态微扰理论2、简并情况下的微扰理论3、变分法及其应用4、与时间有关的微扰理论 难点1、微扰论的基本思想，用微扰论求分立能级及所属波函数的修正的方法2、量子跃迁的概念,第五章 微扰理论 5.1 非简并态微扰理论 一、微扰论的基本思想我们中心问题是求解能量本征方程 ，但没有办法严格地求解它，只能尽量地求出它的近似解。但如果满足下列五大条件，可采用本节讨论的微扰法
3、求解 1） 即哈密顿量算符与时间无关，定态 。 2） 可分为 和 两部分，而且 远小于 。,其中 是刻画某种作用强度的参数，是一个小量（ ）， 称为微扰。 3） 的本征值和本征函数已经求出，即中能级 和波函数 都是已知的。微扰论的任务就是从 的本征值和本征函数出发，近似的求出经过微扰 后 的本征值和本征函数。 4） 的能级组成分立谱。严格说来，是,要求要计算它的修正项的那个能级 处于分立谱， 为束缚态。 5） 的能级无简并。严格说来，是要求通过微扰论来计算它的修正项的能级 无简并。设将能级 和波函数 按展开其中的 、 为能量和波函数的零级,修正； 、 为能量和波函数的一级修正； 、 为能量和波
4、函数的二级修正等等。将上式代入本征方程得：比较两边 同次幂项的系数得：,逐级求解这些方程，原则上可以得到满足一定精度要求的近似解。二、一级修正(近似)为求能量和波函数的一级修正 与，考察一级近似方程：由于 是厄密算符， 的本征函数系是正交、归一、完全系，可以将一级修正波函数 按 系展开（,表象称为无微扰表象）两边左乘 ，然后积分得,1）当 时此即能量的一级修正，它是微扰 在零级波函数下的平均值。 1）当 时,称为微扰矩阵元。所以波函数的一级修正为因此精确到一级近似，能量和波函数为,三、二级修正(近似)令 ,代入二级近似得两边同乘以 ,然后积分得,当 时,所以精确到二级近似,能量本征值为通常,微
5、扰对波函数的修正计算到一级,对能量的修正计算到二级近似。,讨论：1）微扰条件只有满足上式，才有可能保证微扰级数的收敛性，保证微扰级数中后一项的结果小于前一项。这就是 的确切表示，微扰方法能否适用，不仅决定于微扰的大小，而且还决定于无微扰体系两个能级之间的间距。 2）用微扰论处理具体问题时，在 中恰当选择 和 十分重要。 与 取得好，不仅满足微扰条件，而且使收敛得很快，,避免高级微扰计算的麻烦。 四、非简并定态微扰法的解题步骤 （1）写出体系的哈密顿 ，并将其分成两部分： 和 。 （2）解出或写出 的解 和 ，并将 归一化。 （3）计算微扰矩阵元（4）将所求得的微扰矩阵元代入公式，求出题目所要求的 、 的近似值。,
