《概率论与数理统计(理工类第四版)第4章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计(理工类第四版)第4章（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 随机变量的数字特征,数学期望 方差 几种重要分布的数学期望与方差 协方差和相关系数 矩、协方差矩阵 大数定律 中心极限定理,定义4.1 设X是离散型随机变量，其概率分布为 XP(X=xi)=pi i=1,2,n,如果级数,绝对收敛，,并称级数,的和为随机变量X的数学期望（均值）,则称X的数学期望存在，,记作 E(X)，即,则称随机变量X的数学期望不存在。,注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数,绝对收敛。若级数,不绝对收敛，,4.1数学期望,例如，设离散型随机变量X的分布律为,则X的数学期望为,例4.2 掷一颗均匀
2、的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,解 X的分布律为,例4.3 从一个装有m个白球和n个红球的袋中取球，直到取到白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望。,解 设取出的红球数为X ，则X的分布律为,k=0,1,2,其中,二项分布XB(n,p),分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n,例4.4 设X取,(k=1,2,)对应的概率为,，证明E(X)不存在。,证明,且,但级数,发散,所以E(X)不存在，但级数,(交错级数满足Leibniz条件)(收敛),要注意数学期望存在的条件：“绝对收敛”。,定义4.2 设X是连续型随机变量，概率
3、密度函数为f(x),二、连续型随机变量的数学期望,若积分,绝对收敛，则称X的数学期望存在，,且称积分,为随机变量X的数学期望，记为E(X),即,数学期望简称期望或均值。,例4.6 设随机变量X服从,(-x0，必有,或,或等价于,切比雪夫不等式,给出了在随机变量X的分布未知时， 对事件(|X-E(X)|)给出了 一个上限估计，例如： 当分别取时2，3，4时，有 P(|X-E(X)|2)1/4 P(|X-E(X)|3)1/9 P(|X-E(X)|4)1/16,三、几个重要分布的数学期望和方差,01分布 XB(1,p)， P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q E(X)=1p+0(1-p)=p，
4、 E(X2)=12p+02(1-p)=p D(X)= E(X2)-E(X)2=p-p2=pq=p(1-p),二项分布XB(n,p) E(X)=np D(X)=npq,分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n,其中,随机变量函数的数学期望,在计算时，若将X表示成若干个相互独立的01分布变量之和，计算就极为简便。,在n重Bernoulli试验中，A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。设,则A发生的次数,XB(n,p),Poisson分布,XP(),几何分布,均匀分布,XUa, b,正态分布,N(,2)中两个参数和2 ， 分别是正态分布随机变量的数学期望和方
5、差。,指数分布,指数分布,练习 1、设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=(2X+3Y)(4Z-1)的数学期望,2、 设随机变量X1, X2,Xn相互独立，且均服从 N(,2)分布，求随机变量,的期望和方差,练习.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+Xn ，求E（Y2）。 解：,Homework Page 104,5; 7; 9;,4.3 协方差与相关系数,定义 设(X,Y)是二维随机变量，如果 EXE(X)YE(Y) 存在, 则称它是X与Y的协方差，记为Cov(X,Y) 即 Co
6、v(X,Y)= EXE(X)YE(Y)。 并称,一、概念,为X与Y的相关系数，或称X与Y的标准协方差。 XY是一个无量纲的量。,当X与Y是离散型随机变量时，联合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij,当X与Y是连续型随机变量时，联合密度函数f(x,y),由协方差定义可得，对任意的随机变量X、Y，有 Cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y)= E(XY)E(X)E(Y) 协方差的一个计算公式。 又有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y),例4.16 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为,其中p+q=1，求相关系数XY 。,解
7、 由题意可得X,Y的边缘分布律为,均为0-1分布， E(X)= p ，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq， 所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y) =00q+010+100+11ppp =pp2=pq 因此,例4.17 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,求Cov(X,Y) 解,同理,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,二、协方差的性质,(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2) Cov(X,X)=D(X)，Cov(X,C)=0； (3) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中a,b为常数； (4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)； (5),
