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1、第二章 2.2 双曲线,2.2.2 双曲线的几何性质,1.了解双曲线的几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等. 2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题. 3.能区别椭圆与双曲线的性质.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 双曲线的几何性质,类比椭圆的几何性质,结合图象得到双曲线的几何性质如下表:,xa或xa,ya或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,A1(a,0),A2(a,0),A1(0,a),A2(0,a),知识点二 双曲线的离心率,思考1,如何求双曲线的渐近线方程?,答案,思考2,椭圆中,椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,在双曲线中,双曲线的
2、“张口”大小是图象的一个重要特征,怎样描述双曲线的“张口”大小呢?,答案,梳理 双曲线的半焦距c与实半轴a的比叫做双曲线的离心率,其取值范围是 .e越大,双曲线的开口 .,(1,),越开阔,题型探究,类型一 已知双曲线的标准方程求其简单性质,例1 求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.,解答,由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2a2b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质.,反思与感悟,跟踪训练1 求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半
3、轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,解答,类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程,解答,解答,(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线,且过点M(2,2)的双曲线方程.,解答,反思与感悟,(1)求双曲线的标准方程的步骤:确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴;设双曲线的标准方程;根据已知条件或几何性质列方程,求待定系数;求出a,b,写出方程.,渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0).,依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c13,,解答,则c210k,b2c2a2k.,解答,解答,联立,解得a28,b232.,A(2,3)在双曲线上,,类型三 与双曲线有关的离心率问题,解答
4、,解答,反思与感悟,解答,由双曲线对称性,知|PF2|QF2|. 又PF2Q90,,类型四 直线与双曲线的位置关系,例4 已知直线yax1与双曲线3x2y21. (1)如果直线与双曲线有两个公共点,求a的取值范围;,解答,把yax1代入3x2y21, 整理得(3a2)x22ax20. (1)直线与双曲线有两个公共点, 判别式4a28(3a2)244a20,,(2)如果直线与双曲线只有一个公共点,求a的取值范围;,解答,(3)如果直线与双曲线没有公共点,求a的取值范围.,解答,反思与感悟,直线与双曲线的位置关系问题的求解要注意常用方法的应用,即将直线方程代入双曲线的标准方程,得到一元二次方程,这
5、个方程的根就是直线与双曲线交点的横(纵)坐标.利用根与系数的关系可以解决有关弦长、弦中点、轨迹等问题. (1)直线与双曲线的位置的判断方法 直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解,有时也要结合图形进行求解.,得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20. 当b2a2k20时,式为一次方程,仅有一解,此时直线与双曲线的渐近线平行,与双曲线有一个公共点,相交; 当b2a2k20时, 若0,直线与双曲线有两个公共点,相交; 若0,直线与双曲线有一个公共点,相切; 若0,b0)右边的常数“1”换为“0”,就是渐近线方程.反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2,再结合其他条件求得就可得双曲线方程. 2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出它的近似图形.,本课结束,