《信号与系统》(第二版)-第2章

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1、第2章 连续信号与系统的时域分析,引言 连续系统的微分方程及其算子表示 零输入响应和零状态响应 连续系统的冲激响应和阶跃响应 卷积积分 系统的时域分析法举例,系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号求解系统的输出响应。系统分析的方法很多，其中时域分析法不通过任何变换，在分析过程涉及的函数变量均为时间，直接求解系统的微分方程和积分方程，该方法直观且物理概念清楚。,所谓系统的数学模型是指系统基本特性的数学抽象。 为了确定一个线性时不变连续系统对给定激励的响应，应建立线性系统的数学模型。线性时不变连续系统的输入输出关系是用线性常系数微分方程来描述的。因此首先需列出描述系统特性的微分方程表达式，然后

2、再求出其满足初始条件的解。,2.1 连续系统的微分方程及其算子表示,2.1.1 表征电路元件特性的关系式,2.1.2 电路基本定律,1基尔霍夫电流定律（KCL）,2基尔霍夫电压定律（KVL）,2.1.3 机械系统常用元件所遵循的物理定律,例2.1.1 如图2.1所示RLC串并联电路，输入激励是电流源iS(t)，试列出以电流及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。,微分方程的建立,图2.1 例2.1.1图,解：（1）根据KVL，列出电压方程,对上式求导，考虑到,得,（2）根据KCL，有,因而,代入原方程得,整理上式，可得以电流,为输出响应变量的方程式为,以上的电压为输出响应变量的方程式为：

3、,对于复杂系统，设激励信号为,系统响应为,则可以用一高阶的微分方程来表示，其一般形式为,2.1.4 微分方程的求解（经典法）,描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常微分方程，一般形式如下：,由微分方程的经典解法可知，上面方程的完全解由两部分组成：齐次解和特解。齐次解为方程对应的齐次微分方程的解，以 表示，特解以 表示。下面分别讨论齐次解和特解的求法。,1.齐次解由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根、复根情况处理方法。,2.特 解 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。,3.全 解 齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数 。,1.齐

4、次解,由特征方程求出特征根写出齐次解形式齐次解是满足式上式中右端激励及其各阶导数都为零的齐次微分方程的解。即：其特征方程：特征方程的 个根 、， ，称为微分方程的特征根。,根据特征根的取值情况不同，齐次解可以有不同的形式 （1）特征根均为单根。即所有特征根都互不相同（即无重根），则微分方程的齐次解（2）特征根有重根 。若 是特征方程的 重根，即有 ，而其余 个根都是单根，则微分方程的齐次解中相应于的部分有项，即,（3）特征根为一对共轭复根。则微分方程的齐次解为,（4）特征根为一对重复根。即共有重的复根，则微分方程的齐次解为,例2.1.2 求微分方程 的齐次解 解：由特征 方程，解得特征根因此该

5、方程的齐次解为其中，待定系数 由初始条件确定。,2.特解特解的函数形式与激励函数的形式有关，即可根据自由项的函数形式来选择，如下表所示。,例2.1.3 已知微分方程 求下列两种情况下微分方程的特解解：（1）因为 ，将 代入方程，得方程右边的自由项为 查表2.1可知，特解的一般形式为所以,代入原方程得由对应项系数相等得所以方程的特解为（2）因为，所以方程右边的自由项为查上表可知，特解的一般形式为,所以代入原方程得解得所以方程的特解为,3完全解 微分方程的完全解为齐次解与特解之和，即根据上面的讨论，对于 阶系统，齐次解 中有个待定系数。这些待定系数由下面 个初始条件来确定：,例2.1.4 试求微分

6、方程当 ，初始条件为 ，时的完全解。解：（1）求齐次解。按照题意，特征方程为 其特征根 均为单根，则其齐次解为,（2）求特解。 将 代入方程的右端，得自由项为 ，其中 与一个特征根 相重，故特解将 代入上述微分方程，得所以 因此特解 所以该方程的完全解是,由初始条件 有解得 ，因此完全解为,4微分方程的物理意义,2.2.5 用算子符号表示微分方程 1算子的定义 （1）微分算子 ，定义如下：（2）积分算子 ，定义如下：于是上面提到的激励信号 和系统响应 又可写为,其中被称为响应对激励的传输算子或转移算子。系统输入输出模型如下图所示。系统的传输算子表示,例2.1.5 用算子法表微分方程。解：根据微

7、分算子的定义，上述微分方程可表示为,还可将上式改写为则传输算子或转移算子 为,2算子符号运算的基本规则 （1）对算子多项式可以进行因式分解，但不能进行公因子相消。 （2）算子的乘除顺序不能随意颠倒，即这表明“先乘后除”的算子运算（即先微分后积 分） 不能相消；而“先除后乘”（先积分后 微分） 的算子运算可以相消。,例：设某连续系统的算子为试写出此系统的输入输出微分方程。解：令系统的输入为 ，输出为 ，由给 定传输算子 写出此系统算子方程为即 与 之间的关系为所以系统的输入输出微分方程为,2.2 零输入响应和零状态响应线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。在激励信号加入系统之

8、前，系统原有的储能（如电容上的初始电压，电感上的初始电流等）构成了系统的初始状态。,2.2.1 零输入响应的求取2.2.2 零状态响应的求取其中零状态响应的完全解的系数应在零状态响应的全解中由初始条件 确定。,2.2.3 系统的完全响应系统的完全响应按性质可分为自由响应和强迫响应，按来源可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系为式中， 。,例2.2.1 已知某系统的微分方程模型为初始条件 ，输入 ，求 系统的零输入响应 ，零状态响应 以及完 全响应 。解：（1）求零输入响应 。 由特征方程得单根 ，因此零输入响应为,将初始条件 代入以上方程，得到解此方程组得： 所以此系统的零输入响应为 （2）

9、求零状态响应 。 根据给定的输入 ，设特解 ， 带入系统微分方程得,即 。因此，零状态响应的特解、齐次 解和完全解分别为将零状态响应的初始条件 代入上式解得,因此，此系统的零状态响应为（3）求系统的完全响应。其中， 是系统的零输入响应，系统完全响应中的前两项 是此系统的自由响应。,2.3 连续系统的冲激响应和阶跃响应连续线性非时变系统的冲激响应定义为在系统的初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，以 表示。由于系统冲激响应要求系统在零状态条件下，且输入激励为单位冲激信号 ，因而冲激响应 仅取决于系统的内部结构及其元件参数。因此，系统的冲激响应 可以表征系统本身的特性。,2

10、.3.1 单位冲激信号（函数） 的定义单位冲激函数的定义,冲激信号及延时冲激信号 冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间 的定积分值，如表示该冲激信号的强度为，即 有 。,2.3.2 冲激函数的性质 1取样特性的取样特性也称为 的乘积特性。 例：利用 的性质计算下列式子。解：,2筛选特性的筛选特性也称为 的积分特性。 例：利用 的性质计算下列式子。解：（1） （因为冲激在积分区间 内）（2） （因为冲激不在积分区间 内） 3 是偶函数，即,2.3.3 用冲激函数 表示信号考虑到 函数的偶函数的特性，即或,2.3.4 冲激响应 1冲激响应的定义冲激响应示意图 2冲激响应的求法,和 的对应关系

11、,（2）当 时，（3）当 时， 当 时， 中除了包含指数项 和冲 激函数 外，还将包含有直到 的冲激函 数 的各阶导数。例：已知 ，求 。,故,2.3.5 单位阶跃信号单位阶跃函数,2.3.6 阶跃响应 1阶跃响应的定义阶跃响应示意图,2阶跃响应 的求法阶跃响应 的求解方法之一是根据线性系统 的积分性，可通过将 进行积分而求得。即例：给定如下图所示电路，求电流 对激励的阶跃响应 。,解：（1）列写电路的微分方程。列结点方程得所以系统的阶跃响应为,2.4 卷积积分根据LTI系统的性质，如果将作用于LTI系统的输入信号分解，而且每个分量作用于系统的响应容易求得。那么，根据叠加原理，将各个分量产生的

12、响应求和即可得原输入信号引起的响应。卷积法的原理就是将信号分解成许多冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解线性时不变系统对任意激励信号的零状态响应。它也是时域与变换域方法之间相联系的重要手段。,2.4.1 卷积积分的推导 函数分解为窄脉冲,2.4.2 卷积积分的图解法例：设某系统的激励信号 和冲激响应 分别 如下图（a）和（b）所示。求该系统的零状态响 应 ，并画出 的波形。,解：将 反折，得 ，如图（c）所示。由 图可见， 保持不动，将 平移 ，得 ，如图（d）所示。 其计算结果如下：,（2）,2.5.3 卷积积分的性质 （1）卷积的代数运算 交换律即：例： ,求 。 解法一：将 反褶,由于

13、所以同理可得 于是,分配律 结合律 （2）卷积的微分与积分 卷积的微分 卷积的积分,例：设有两个函数分别为 求这两个函数的卷积 。利用卷积的微分得,（3）函数与冲激函数的卷积 2.5.4 卷积积分的数值解 卷积积分的数值解就是卷积积分的近似计算。,2.6 系统的时域分析法举例 例：已知一系统的微分方程为 ， 且 。求输入为 时的输出响应 解：特征方程和特征根分别为则齐次解为令特解为将 代入微分方程，可求出系数 所以特解为,则其完全解为由于该系统的初始状态不产生跳变，所以 ，代入上式得最后得到系统的输出响应为,2.7利用MATLAB进行系统的时域分析 2.7.1连续时间系统零状态响应的求解例：如下图所示的电路系统中，电容器极板上电 荷量与输入电压的关系为,设电感系数为L=1H，电阻R=10，电容器的电容 C=5mF，系统的初始储能为零，若外加电压 是 振幅为10V、频率1Hz的正弦信号，求电容器极板 上的电荷量 。解：由已知条件，系统的输入信号为系统的微分方程为计算电荷量 的MATLAB程序如下,