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1、1,例3（n阶行列式的计算）,2,3,例4,箭形行列式,目标：把第一列化,成三角形行列式,4,例5,箭形行列式,5,6,例6,（可以化为箭形行列式）,7,8,问题：,一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n 1 阶行列式来计算？（降阶的思想）,1.3 行列式按行（列）展开定理,一. 按行列式某行(列)展开,9,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,问题：一个n阶行列式如何转化为n个n-1阶行列式来计算？,首先介绍两个概念,10,定义1,在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行和,第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素,的,余子式。,记为,称,为元素,的代数余子式。,
2、例如,11,注意 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。,12,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,定理1,证明,（先特殊，再一般）,分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。,(1),假定行列式D的第一行除,外都是 0 。,13,由行列式定义，D 中仅含下面形式的项,其中,恰是,的一般项。,所以，,14,(2),设 D 的第 i 行除了,外都是 0 。,把D转化为(1)的情形,把 D 的第,行依次与第,行，第,行，,第2行，第1行交换；再将第,列依次与第,列，,第,列，,第2列，第1列交换，这样共经过,次交换行与交换列的步骤。,15,由性质2，
3、行列式互换两行（列）行列式变号，,得，,16,(3),一般情形,17,例如，行列式,按第一行展开，得,18,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即,定理2：,证明,由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。,在,中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素,定理2,19,则,第i行,右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。,20,综上，得公式,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不 一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（ n 1） 阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行 或某一列含有
4、较多的零时，应用展开定理才有意义。但展 开定理在理论上是重要的。,注意,21,利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可 简化行列式计算：,计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。,22,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,23,例6,利用递推公式计算n阶行列式,24,解 将Dn 按第一列展开,于是，得递推公式,而由递推公式，得,继续递推公式，得,25,故,也可按最后一行展开（自己作为练习）,26,练习：,27,解：,先将各列加到第一
5、列,28,2。,29,例3,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,30,证明,用数学归纳法,(1) 当n=2时,结论成立。,(2) 设n 1阶范德蒙德行列式成立，证明n阶也成立。,31,证毕。,32,二. 拉普拉斯（Laplace)展开定理,定义1.4,在n阶行列式D中任取k行k列(1k n),称,位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D中的,相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式。,33,称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的,相对位置所组成的n-k阶行列式M为N的余子式;,若N所在的行与列的行标与列标分别为,34,及,则称,为N的代数余子式，记作A,例9 设,
6、则D的位于第1、3行，第2、3列的2阶子式 为,35,N1的代数余子式为,D的位于第1、3、4行，第2、3、4列的3阶子式 为,N2的代数余子式为,36,显然，n阶行列式D位于某k行的k阶子式有,个，从而D共有,个k阶子式。,定理1.3,n阶行列式D等于其位于某k行的所有k阶子式,与其对应的代数 余子式，A1, A2, At,的乘积之和，即,37,显然，定理1.2是定理1.3中k=1时的特例 。按照定理1.3展开行列式似乎很繁，但当行列式的某些行中有众多的零时，定理1.3的实用价值立即展现出来。,例10,计算,解,因D中第2、4 行的,个2阶子式中只有,一个是非零的。故将D按第2、4 行展开得,38,例11,计算m+n阶行列式,39,解,按前m列展开，得,40,例12,计算 2n 阶行列式,(其中未写出的元素皆为零）,解,按第1、2n行展开，因位于这两行的全部2阶子式中只,有1个（即位于1、2n列的2阶子式可能非零且其余子,式恰为0),相应的代数余子式为,41,故得,于是，,得递推公式,从而,
