自动控制第2章

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1、第2章 自动控制系统的数学模型,2.1 控制系统微分方程的建立 2.2 非线性系统微分方程的线性化 2.3 传递函数 2.4 控制系统的结构图及其等效变换 2.5 信号流图 2.6 闭环系统的传递函数 2.7 脉冲响应函数,关于课本2-1小节,数学模型 1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。 2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。,建立数学模型的另一个原因：

2、许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以进行仿真研究）。,数学模型可分为：,静态模型：在静态条件下，（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程。动态模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程，由此可分析系统的动态特性。,Show,3. 数学模型的建立方法 a.分析法分析法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和

3、参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型适用于简单的系统。 b. 实验法实验法是利用系统的输入输出信号来建立数学模型的方法。通过测量所得到的大量输入、输出数据，根据它们之间的关系推断出被研究系统的数学模型。（系统辨识）,但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾：简化与准确性。不能过于简化而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化

4、其数学模型。本章只讨论分析法建立系统的数学模型！,4. 数学模型的表示形式,时间域： 微分方程差分方程状态方程复数域： 传递函数结构图（方块图）频率域： 频率特性,注意,4.数学模型的表示形式（经典控制理论中最常用的） a.微分方程；b.传递函数； c.频率特性,同一个系统，可以选用不同的数学模型， 如：研究复数域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。,注意,线性系统 1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。,复习一下,假设元件输入为r(t)、r1(

5、t)、r2(t)，对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t)：如果r(t)=r1(t)+ r2(t) 时， c(t) = c1(t) + c2(t) 满足迭加性如果r(t)=ar1(t)时， c(t) =ac1(t) 满足齐次性满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。,不满足以上条件的方程，就称为非线性方程。,2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用

6、（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题。,2.1 控制系统微分方程的建立,时域,2.1 控制系统微分方程的建立微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。,提取数学模型的步骤：,划分环节 写出每或一环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式,分析法建立微分方程的一般步骤：（1）分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），

7、并根据需要引进一些中间变量。（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。,注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。,Show,建立数学模型的基础,机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律,微分方程 （连续系

8、统）,2.1.1 电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻R、电感L、电容C (无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。,例 由电阻R、电感L和电容C组成无源网络。ui输入，uo输出，求微分方程。,线性元件的微分方程,电气系统三元件：,电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。,解：设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到,式中i ( t )是中间变量。i ( t )和u o( t )的关系为,消去中间变量i (t )，可得,机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵

9、循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。,例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力F(t)为输入量，位移x(t)为输出量。列写系统的运动方程。,2.1.2 机械系统,解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为,k和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号

10、表示弹簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。,比较上面两个例子可见，虽然它们为电气系统和机械系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统。 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统提供了方便。因为一般来说，电的或电子的系统更容易通过试验进行研究。,总结：,图示为一他激直流电动机。图中，为电动机角速度（rad/s），Mc为折算到电动机轴上的总负载力矩（Nm），ua为电枢电压（V）。设激磁电流恒定，并忽略电枢反应。,取ua为给定输入量， 为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电

11、感，得:,2.1.3 机电系统,如果取电动机的转角（rad）作为输出，电枢电压ua（V）仍为输出，考虑到:,可将上式改写成,可知：对于同一个系统，若从不同的角度研究问题，则所得出的数学模型式不一样的。,P37例2-12 某速度控制系统如下图所示，建立其数学模型。,解：被控对象：电动机（带负载）输入量：ui 输出量：转速扰动量：负载转矩Mc（折算到电动机轴上的等效值）,2.2.2 控制系统的数学模型,运算放大器：,运算放大器:,功率放大器：,直流电动机：,齿 轮 系：,测速发电机：,消去中间变量可得系统微分方程：,思考：传递函数？,列写系统各环节数学模型时应要注意的问题：,(1)信号传递的单向性

12、，前一个元件的输出是后一个元件的输入。,(2)前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应问题。(P51),例如：,串联,二者传函不同,建立系统数学模型的一般步骤,(1)确定系统输入、输出变量；,(2)根据各环节相应的物理定律建立各环节的数学模型；,(3)消除中间变量，写出系统外作用量与输出量之间的微分方程。,或先画出系统结构图再求出传递函数（当然也就得到了微分方程）。,2.2.2 控制系统的数学模型,2.2 非线性系统微分方程的线性化,2.2.3 非线性微分方程的线性化(P40),非线性环节是广泛存在的。,处理方法:,忽略视为线性元件,微偏法小偏差线性化法,非线性系统理论,描述函数法、相平面法

13、、逆系统方法等,本章讨论,微偏法的实质是：,在小范围内，用切线代替曲线，从而达到线性化的目的。,具体做法是：,在工作点附近进行泰勒级数展开，忽略高次项。,x(t)非线性环节的输入信号,y(t)非线性环节的输出信号,在工作点（x0，y0）展开为泰勒级数：,设：非线性方程为：y = f（x）,设：,有：,即：,增量线性化方程,注意：, 线性化方程的参数,与工作点（平衡状态）有关。, 应用微偏法，工作范围不能过大，否则误差大。,到底多大合适，与非线性曲线形状有关。, 二元函数的线性化方法与此相似，请课后阅读教材上的相关内容。,2.2.3 非线性微分方程的线性化,实际的物理元件或系统都是非线性的。非线

14、性微分方程的求解很困难。如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略弱非线性环节。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。,有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的。,线性化问题的提出,可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。,线性系统缺点：,线性系统优点：,2.2.1 切线法的概念（又叫小偏差法、增量线性化法）切线法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在

15、平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。因此，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。,设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化 x， y=y0+ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即,2.2.2 举例 一个自变量 y=f(x) x元件的输入信号，y元件的输出信号,当 很小时，略去高

16、次项：,略去高次项，且,则：,略去增量符号，有：,切线斜率, 两个自变量的泰勒级数展开y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即,函数变化与自变量变化成线性比例关系。,略去高次项，得,2.2.3 系统线性化的条件及步骤 1.条件 系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作点; 在运行过程中偏离且满足小偏差条件; 在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。,2.3 传递函数,复数域,2.3.1 传递函数的定义和性质一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。,